2019高考数学 考点突破——平面向量：平面向量的概念及线性运算学案

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1、平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向

2、量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λλ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb＝0时，λa＝03.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题：①若

9、a

10、＝

11、b

12、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a

13、＝c；④a＝b的充要条件是

14、a

15、＝

16、b

17、且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)A．②③B．①②C．③④D．②④[答案]A[解析]①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵＝，∴

18、

19、＝

20、

21、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

22、

23、＝

24、

25、，∥且，方向相同，因此＝.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，即使

26、a

27、＝

28、b

29、，也不能得到a＝b，故

30、a

31、＝

32、b

33、且a∥b不是a＝b

34、的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.【对点训练】给出下列六个命题：①若

35、a

36、＝

37、b

38、，则a＝b或a＝－b；②若＝，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且

39、a

40、>

41、b

42、，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是

43、a

44、

45、＝

46、b

47、且a∥b.其中假命题的序号为________．[答案]①②③④⑤⑥[解析]①不正确．

48、a

49、＝

50、b

51、.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是

52、a

53、＝

54、b

55、且a，b同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)A

56、．2B．3C．－2D．－3(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.[答案](1)D　(2)　－[解析](1)由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，则λ＝－3.(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1

57、．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．[答案]－2[解析]因为D是BC的中点，则＋＝2.由＋＋＝0，得＝.又＝λ，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案][解析]＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝.考点三、共线