2019高考数学 考点突破——平面向量：平面向量的数量积学案

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1、平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度

6、a

7、与b在a的方向上的投影

8、b

9、cosθ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

10、θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模

11、a

12、＝

13、a

14、＝数量积a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

19、a·b

20、与

21、a

22、

23、b

24、的关系

25、a·b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、

31、x1x2＋y1y2

32、≤·【考点突破】考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－　　　B．　　　C．　　　D．(2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，

33、0)，O为原点，则·的最大值为________.[答案](1)B　(2)6[解析](1)如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又

34、

35、＝

36、

37、＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B.(2)设P(cosα，sinα)，∴＝(cosα＋2，sinα)，∴·＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，当且仅当cosα＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标

38、运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　)A．－　　B．C．－　　D．[答案]A[解析]由等边三角形的性质得

39、

40、＝

41、

42、＝，〈，〉＝120°，所以·＝

43、

44、

45、

46、cos〈，〉＝××＝－，故选A.2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为_____

47、___．[答案]1　1[解析]法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故·的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝

48、

49、·1＝1，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，所以(·)max＝

50、

51、·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直

52、【例2】(1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.(2)已知平面向量a，b满足

53、a

54、＝2，

55、b

56、＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为(　　)A．－7B．－3C．2D．3(3)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.[答案](1)2　(2)D　(3)∪[解析](1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.(2)依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，

57、即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向.综上，k的取值范围为∪.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cosθ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角

58、为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)A．－8B．－6C．6D．8[答案]D[解析]法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b