高考数学平面向量的数量积突破复习

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1、平面向量的数量积走进高考第一关基础关教材回归1.向量的夹角(1)已知两个________向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)向量夹角θ的范围是________,a与b同向时,夹角θ=________;a与b反向时,夹角θ=________.(3)如果向量a与b的夹角是________,我们说a与b垂直,记作________.非零[0,π]0π90°a⊥b2.向量的投影________(________)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)投影.3.平面向量数量积的定义a·b

2、=___________(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为________.

3、a

4、cosθ

5、b

6、cosθ

7、a

8、

9、b

10、cosθ04.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=________=________.(2)a⊥b⇔=________.(3)当a与b同向时,a·b=________;特别地,a·a=________或

11、a

12、=________.a·e

13、a

14、cosθa·b=0

15、a

16、

17、b

18、

19、a

20、2(4)cosθ=_____

21、___.(5)

22、a·b

23、________

24、a

25、

26、b

27、.5.向量数量积的运算律(1)a·b=________.(交换律)(2)(λa)·b=________=________.(数乘结合律)(3)(a+b)·c=________.(分配律)6.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=________.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=.≤b·aλ(a·b)a·(λb)a·c+b·c(3)若向量a的起点坐标和终点坐

28、标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

29、a

30、=_________________,这就是平面内两点间的距离公式.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,yy2),则a⊥b⇔________⇔________________.a·b=0x1x2+y1y2=0考点陪练1.设a､b､c是任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b+c)答案:D2.P是△ABC所在平面上一点,若·=·=

31、·,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案:D3.已知a·5b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么

32、a+3b

33、等于()答案:C4.非零向量=a,=b,若点B关于所在直线的对称点为B1,则向量为()答案:A5.(2010·福建福州质检)(基础题,易)直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:-==(-1,1-k),(1)·=0⇒k=-6,(2)·=0⇒k=-1,(3)·=0⇒k2-k+3=

34、0,由Δ<0得无解.解读高考第二关热点关类型一:数量积的性质及运算解题准备:1.

35、a

36、

37、b

38、cos叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=

39、a

40、

41、b

42、cos.2.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2.3.向量的数量积是历年高考命题的热点,涉及到本知识点时,主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题.(1)设a､b､c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②

43、a

44、-

45、b

46、<

47、a-b

48、;③(b·c)a-(c·

49、a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9

50、a

51、2-4

52、b

53、2.其中是真命题的是________.②④类型二:利用数量积解决长度､垂直问题解题准备:常用的公式与结论有:①

54、a

55、2=a2=aa或

56、a

57、==;②

58、a±b

59、==;③若a=(x,y),则

60、a

61、=.其中①③两个公式应用广泛,需重点把握.④a⊥b⇔a·b=0(a,b均为非零向量);⑤设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以①错;考虑②式对应的几何意义,

62、由三角形两边之差小于第三边知②正确;由·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以④正确.所以正确命题的序号是②④.[分析]利用

63、a

64、=及a⊥b⇔a·b=0即可解决问题.典例2已知

65、a

66、=4,

67、b

68、=8,a与b的夹角是120°.(1)计算①

69、a+b

70、,②

71、4a-2b

72、;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka