平面向量复习向量的数量积

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1、平面向量的复习课（2）P84要点梳理1.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.2.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影

12、b

13、cosθ的乘积.思考：投影可不可以是负的？B1OABθabOABθabB1OABθab

14、b

15、cosθ叫做向量b在a方向上投影，它是数量，当是θ锐角时，OB1与a同向，投影为正值；当是θ钝角时，OB1与a反向，投影为负值;当a与b互相垂直时，投影为0

16、.由此可知a·b的几何意义是:数量积a·b等于a的长度

17、a

18、与b在a方向上投影

19、b

20、cosθ的乘积；或等于b的长度

21、b

22、与a在b方向上投影

23、a

24、cosθ的乘积.说明：向量b在a方向上投影3.向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a＝a·e＝

25、a

26、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

27、a

28、·

29、b

30、；当a与b反向时，a·b＝－

31、a

32、

33、b

34、；所以｜a·b｜≤

35、a

36、

37、b

38、（1）因为a·b=

39、a

40、·

41、b

42、cosθ，－1≤cosθ≤1（2）结论a·a＝

43、a

44、2或

45、a

46、＝常用于求模长，所以求模长一般把相应向量

47、平方。说明：4.平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.题型一：向量数量积的基本运算(2,4).(1)若点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.“”“P85【互动探究】”2.(2013年大纲)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A.－4B.－3C.－2D.－1题型一：向量数量积的基本运算“P85【互动探究】”2.(2013年大纲)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(

48、m－n)，则λ＝()A.－4B.－3C.－2D.－1解法1：由(m＋n)⊥(m－n)⇒

49、m

50、2－

51、n

52、2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则

53、a＋b

54、＝(题型二：模长与夹角是钝角，求的取值范围.（2）若∠练习（2007广东）已知△分别为.，求sin∠的值;（1）若顶点的直角坐标“P85【互动探究】”1.(2012年重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，)，练习：(07湖北)设在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（）B．C．D．A．题型三：投影例3已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2）

55、.求向量a在b方向上的投影.题型四：平面几何与向量“”(2)(2013年新课标Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为图8-2-1【互动探究】课后自己阅读：“考点3向量的数量积在解析几何中的应用”