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1、第3讲平面向量的数量积教学目标：1．平面向量数量积的运算．2．利用数量积求平面向量的夹角、模．3．利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角→→已知两个非零向量a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量
2、的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
3、a
4、
5、b
6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
7、a
8、
9、b
10、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝
15、a
16、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝
17、a
18、·
19、b
20、；当a与b反向时，a·b＝－
21、a
22、
23、b
24、，特别的，a·a＝
25、a
26、2或
27、者
28、a
29、＝a·a；a·b(4)cosθ＝；
30、a
31、
32、b
33、(5)
34、a·b
35、≤
36、a
37、
38、b
39、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)
40、a
41、＝x221＋y1；x1x2＋y1y2(3)cos〈a，b〉＝；x22221＋y1x2＋y2(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.→227．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝a，则
42、a
43、
44、＝x1－x2＋y1－y2(平面内两点间的距离公式)．备注：一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b
45、·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．→→(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知
46、a
47、＝3，
48、b
49、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．ππ2π3πA.B.C.D.3434a·b－312π解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
50、a
51、
52、b
53、3×223答案C2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·
54、c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案D3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9B．4C．0D．－4解析a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案A5．(2011·江西)已知
55、a
56、＝
57、b
58、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____
59、____．解析由
60、a
61、＝
62、b
63、＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，a·b21π得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝.
64、a
65、
66、b
67、2×223π答案3考向一求两平面向量的数量积→→→【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，
68、AM
69、＝1，AP＝2PM，→→→则PA·(PB＋PC)＝________.→→→[审题视点]由M是BC的中点，得PB＋PC＝2PM.→→→→→→解析如图，因为M是BC的中点，所以PB＋PC＝2PM，又AP＝2PM，
70、AM
71、＝1，→→→所以PA·(PB＋PC)→→→24→44＝P
72、A·2PM＝－4
73、PM
74、＝－
75、AM
76、2＝－，故填－.9994答案－
