2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的概念及线性运算 Word版含解析.pdf

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1、平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量法则定义运算律运算(或几何意义)(1)交换律：a＋b＝b＋a；求两个向量加法三角形法则(2)结合律：和的运算(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

2、平行四边形法则求a与b的相反向量－b的和的减法a－b＝a＋(－b)运算叫做a与b三角形法则的差(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；λ(μa)＝求实数λ与向(2)当λ>0时，λa的λμa；数乘量a的积的运算方向与a的方向相同；(λ＋μ)a＝λa当λ<0时，λa的方向＋μa；与a的方向相反；当λλ(a＋b)＝λa＝0时，λa＝0＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题：①若

9、a

10、＝

11、b

12、，则a＝b；→→②若A，B，C，D是不共线的四点，则“

13、AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

14、a

15、＝

16、b

17、且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④[答案]A[解析]①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.→→→→→→②正确.∵AB＝DC，∴

18、AB

19、＝

20、DC

21、且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD→→→→→→为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

22、AB

23、＝

24、DC

25、，AB∥DC且AB，DC方向相同，→→因此AB＝DC.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且

26、方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，即使

27、a

28、＝

29、b

30、，也不能得到a＝b，故

31、a

32、＝

33、b

34、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.aa4.非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.

35、a

36、

37、a

38、【对点训练】给出下列六个命

39、题：①若

40、a

41、＝

42、b

43、，则a＝b或a＝－b；→→②若AB＝DC，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且

44、a

45、>

46、b

47、，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是

48、a

49、＝

50、b

51、且a∥b.其中假命题的序号为________．[答案]①②③④⑤⑥[解析]①不正确．

52、a

53、＝

54、b

55、.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；→→②不正确．因为AB＝DC，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．

56、当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是

57、a

58、＝

59、b

60、且a，b同向．考点二、平面向量的线性运算→1→4→→→【例2】(1)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC(λ∈R)，则λ33＝()A．2B．3C．－2D．－3→→→→→→→(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.11[答案](1)D(2)－26→1→4→→

61、→→→→→→→→[解析](1)由AD＝－AB＋AC，可得3AD＝－AB＋4AC，即4AD－4AC＝AD－AB，则4CD＝BD，33→→→→→→→即BD＝－4DC，可得BD＋DC＝－3DC，故BC＝－3DC，则λ＝－3.→→→1→1→1→1→→1→1→→→(2)由题中条件得，MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC＝xAB＋yAC，所以32322611x＝，y＝－.26【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向

62、量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】→→→→→1．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP