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《2019高考数学考点突破——平面向量:平面向量的概念及线性运算 Word版含解析.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量法则定义运算律运算(或几何意义)(1)交换律:a+b=b+a;求两个向量加法三角形法则(2)结合律:和的运算(a+b)+c=a+(b+c)
2、平行四边形法则求a与b的相反向量-b的和的减法a-b=a+(-b)运算叫做a与b三角形法则的差(1)
3、λa
4、=
5、λ
6、
7、a
8、;λ(μa)=求实数λ与向(2)当λ>0时,λa的λμa;数乘量a的积的运算方向与a的方向相同;(λ+μ)a=λa当λ<0时,λa的方向+μa;与a的方向相反;当λλ(a+b)=λa=0时,λa=0+λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题:①若
9、a
10、=
11、b
12、,则a=b;→→②若A,B,C,D是不共线的四点,则“
13、AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是
14、a
15、=
16、b
17、且a∥b.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.②④[答案]A[解析]①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.→→→→→→②正确.∵AB=DC,∴
18、AB
19、=
20、DC
21、且AB∥DC,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD→→→→→→为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则
22、AB
23、=
24、DC
25、,AB∥DC且AB,DC方向相同,→→因此AB=DC.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且
26、方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使
27、a
28、=
29、b
30、,也不能得到a=b,故
31、a
32、=
33、b
34、且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.【类题通法】1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.aa4.非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.
35、a
36、
37、a
38、【对点训练】给出下列六个命
39、题:①若
40、a
41、=
42、b
43、,则a=b或a=-b;→→②若AB=DC,则ABCD为平行四边形;③若a与b同向,且
44、a
45、>
46、b
47、,则a>b;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;⑤λa=0(λ为实数),则λ必为零;⑥a,b为非零向量,a=b的充要条件是
48、a
49、=
50、b
51、且a∥b.其中假命题的序号为________.[答案]①②③④⑤⑥[解析]①不正确.
52、a
53、=
54、b
55、.但a,b的方向不确定,故a,b不一定是相等或相反向量;→→②不正确.因为AB=DC,A,B,C,D可能在同一直线上,所以ABCD不一定是四边形.③不正确.两向量不能比较大小.④不正确.
56、当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.⑤不正确.当λ=1,a=0时,λa=0.⑥不正确.对于非零向量a,b,a=b的充要条件是
57、a
58、=
59、b
60、且a,b同向.考点二、平面向量的线性运算→1→4→→→【例2】(1)设D为△ABC所在平面内一点,AD=-AB+AC,若BC=λDC(λ∈R),则λ33=()A.2B.3C.-2D.-3→→→→→→→(2)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=________;y=________.11[答案](1)D(2)-26→1→4→→
61、→→→→→→→→[解析](1)由AD=-AB+AC,可得3AD=-AB+4AC,即4AD-4AC=AD-AB,则4CD=BD,33→→→→→→→即BD=-4DC,可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC,则λ=-3.→→→1→1→1→1→→1→1→→→(2)由题中条件得,MN=MC+CN=AC+CB=AC+(AB-AC)=AB-AC=xAB+yAC,所以32322611x=,y=-.26【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向
62、量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.【对点训练】→→→→→1.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足PA+BP+CP