数列的极限 13 函数的极限ppt课件.ppt

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1、第二节数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、极限概念的引入(了解)正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;2121212nnXn+++=L天截下的杖长总和为第;212122+=X为第二天截下的杖长总和;211=X第一天截下的杖长为按一定规则排列的无穷多个数二、数列的定义例如称作数列，简记作{xn}，其中x1叫做数列的第一项，x2叫做数列的第二项，∙∙∙，xn叫做数列的第n项，又称通项或一般项。简记作简记作数列数列注意：1.数列对应着数轴上一个点列

2、.可看作一动点在数轴上依次取2.数列可以看成函数：例1数列我们考察这个数列的通项为当n无限增大时，的变化趋势。三、数列的极限0.000000000930.000000953670.00097656250.031250.510737418241048576102432230201051可见，当n无限增大时，的变化趋势。无限地趋近于常数0。例2通过实验观察无限地趋近于常数0定义对于数列{xn}，如果当n无限变大时，xn趋于一个固定常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限，记作称数列{xn}收敛于A；如果数列{xn}没有极限(趋势不定或者趋于无穷大)，就称

3、{xn}是发散的。例如数列{}以0为极限，记作或趋势不定收敛发散例数列所以该数列无极限。数列的通项为xn(–1)n+1，当n无限增大时，xn总在1和–1两个数值上跳跃，永远不趋于一个固定的数。问:思考：如何用数学语言定量的刻划它?（1）0.9,0.99,0.999,…，0.99…9，…（2）0.8,0.88,0.888,…，0.88…8，…如何来刻画“当n无限变大时，Xn趋于一个固定常数A”？要点：Xn趋于一个常数A:0，有

4、XnA

5、例2,1001给定,10011n,10011<-nx有,10001给定,1000时只要>n,1

6、00011<-nx有,100001给定,10000时只要>n,1000011<-nx有,0>e给定,])1[(时只要e=>Nn.1成立有e<-nx定义:若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,,N正数$定义对于数列{xn}，如果当n无限变大时，xn趋于一个固定常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限，记作称数列{xn}收敛于A；如果数列{xn}没有极限(趋势不定或者趋于无穷大)，就称{xn}是发散的。或例1证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,

7、关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N..lim),(CxCCxnnn=º¥®证明为常数设,0>e任给,n对于一切自然数CC-=,成立e<0=例2证.limaxnn=¥®故axaxaxnnn+-=-从而有,1e<->$axNnNn时恒有使得当,0>e任给,limaxnn=¥®Q.lim,0lim,0axaxxnnnnn=>=>¥®¥®求证且设例3当n趋于无穷大时，下列极限发散的是（）ABCDC四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界注：数列收敛一定有界，但有界不一定收敛;1+=nnxn数列.2nnx=数列2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证故收敛

8、数列极限唯一.由定义,,lim,limbxaxnnnn==¥®¥®又设使得.,,021NN$>e";1e<->axNnn时恒有当;2e<->bxNnn时恒有当{},,max21NNN=取时有则当Nn>)()(axbxbann---=-axbxnn-+-£.2e=e+e<.时才能成立上式仅当ba=作业P30习题1-21、(3)(5)4第三节函数的极限一、当x时，函数f(x)的极限引例讨论函数的图象当时，有称当x趋于正无穷，记作以0为极限定义如果当x0且无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x时，函数f(x)以A为极限，记作如果函数f(x)不趋于

9、一个常数A，则称当x趋于正无穷时，f(x)的极限不存在。1、当x时，函数f(x)的极限当x0且无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A要点：(1)x:(2)f(x)趋于一个常数A:X0，xX0，有

10、f(x)A

11、定义设当x0且无限增大时函数f(x)有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数X，使得对于满足不等式xX的一切x，总有

12、f(x)A

13、则称常数A为函数f(x)当x时的极限，记作如果函数f(x)不趋于一个常数A，则称当x趋于正无穷时，f(x)的极限不存在。1、当x时，函数f(x)的极限定义如果当x0且绝对值无

14、限增大时，函数f(x)趋