函数 数列的极限.ppt

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1、第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数区间(有限和无限）一、集合其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.点的邻域去心邻域左邻域:右邻域:二、映射定义域自变量因变量三、函数1.函数的概念定义.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为函数图形:(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域例4.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域2.函数

2、的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当(2)单调性当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为

3、无理数3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.1)y＝f(x)单调递增(减)，其反函数且也单调递增(减).性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:但函数链不能构成复合函数.可定义复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:1.2.与能否复合？是由与复合而得的。3.？4.

4、初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数4.初等函数(2)初等函数由常数及基本初等函数经过有限次否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.4.初等函数例如,可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0非初等函数举例:取整函数当分段函数例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限一、数列极限的定义引例.设有半径

5、为r的圆,面积An逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,An无限逼近S(刘徽割圆术).用其内接正n边形的数学语言描述:当n>N时,总有一、数列极限的定义$正整数N，定义1:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).观察数列收敛观察数列趋势不定发散问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:当n>N时,总有定义2：若数列及常数a有下列关系:或则称该数列的极限为a,记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.当n>N时,总有当n>N时,总

6、有即定义:几何解释:当n>N时,总有注：数列极限存在与否与前有限项无关当n>N时,总有例1证所以,当n>N时,总有例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.唯一性有界性保号性数列与子数列四则运算和复合运算法则（第五节）极限存在准则(第六节）二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1、收敛数列的极限唯一.如何证明极限的唯一性呢？常用反证法证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,

7、有收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式使当n>N时,有例4.证明：数列发散.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,例4.证明数列是发散的.但因交替取值1与－1,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间内,因此该数列发散.2、极限的有界性定理说明:此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.有a.b.c.3、极限的保号性定理000lim>>>$Þ>=¥®nnnxNnNax时，有

8、当bxNnNbaxnnn>>>$Þ>=¥®时，有当0limbabxaxnnn>Þ>=¥®且lim若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从