《数列与函数的极限》PPT课件

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1、(一)、数列的极限(二)、函数的极限第二节数列与函数的极限一、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列实质上是定义在正整数集上的函数：xn=f(n)，nZ+三、数列的极限播放三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限2.数列极限的定义故上例中有：例1:观察下列数列的变化趋势3、数列极限的性质定理1若极限存在，则极限是唯一的.1).极限的唯一性(1)数列的有界性2).收敛数列的有

2、界性对数列,若存在正数M,使得对一切自然数n,恒有成立,则称数列有界,否则,称为无界.例如,有界无界数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.定理2收敛的数列必定有界.推论无界数列必定发散.注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.例如：定理33).极限的保号性4).子数列的归并性(子数列的收敛性)在数列中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记为,称为数列的子数列.定理4如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.5).数列极限四则运算法则与性质例1求下列数列的极限：自变量的变化过程:二、函数的极限定义1:(一)、自变量趋向无穷大时函数的极限

3、二、函数的极限定义2:定义3:1定义:(二)、自变量趋向有限值时函数的极限注意：2、基本初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值。2.单侧极限:例1：左极限右极限因为左右极限存在但不相等,例2证3、函数极限的性质4、函数极限运算法则定理5、举例例2例3例4例1小结:一、无穷小量例如:1、定义三、无穷小量与无穷大量2.无穷小与函数极限的关系:引理意义1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小

4、的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.利用无穷小的性质求极限二、无穷大量1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;注意：三、无穷小与无穷大的关系在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例如一、填空题:练习题二、求下列各极限:练习题答案