数列与函数极限PPT课件

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1、第一章极限与连续函数第一节数列的极限学习重点利用两个重要极限计算极限无穷小的概念及其比较理解极限的概念，掌握极限的运算法则极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭剩余长度依次为1，不为零，但无限接近零1/2，1/4，1/8，1/16，…,1/32，我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：在中国古代的萌芽和应用刘徽割圆术割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣数列的概念数列就是指按自然数编了号的一列数记为{an},其中an称为该数列的通项。2，4，8，...,2n，...,几个数列的例子:…0.000990.010000.019600.025

2、000.032250.10000…0.999011.010000.980401.025000.967750.9000…10009950393010定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束特别注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定说明相应的N存在,但不必求出最小的N.15/28证由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。24/28数列极限性质定理1.若数列收敛,则其极限唯一.设xna(n),则对n=1,2,…,有

3、

4、xn

5、M,则{xn}有界.证:由定义,对=1,存在自然数N,当n>N时,有

6、xna

7、<1,故

8、xn

9、

10、xna

11、+

12、a

13、<1+

14、a

15、.取M=max{

16、x1

17、,

18、x2

19、,…,

20、xN

21、,1+

22、a

23、}xa–1aa+1)(M定理2.若{xn}收敛,则{xn}有界.定理2的逆命题不成立,如xn=(1)n有界,但由定义和几何意义知(1)n是发散的.看图x110()()定理3(保号性)若且时,有证:对a>0,取机动目录上页下页返回结束定理4.证:反设aN1时,有xnN2(N)时,有xn

24、条件矛盾，故.所谓数列{xn}子列，就是从数列x1,x2,,xn,中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为{xn}的子列.比如，x2,x5,x14,,x78,就是{xn}的一个子列上列中n1=2,n2=5,n3=14等.子列定理5.发散.1,0,1,0,1,0,1,0,发散.0,1,0,1,注：由定理5，若{xn}的两个子列一个收敛于a,而另一个收敛于b，且ab,则{xn}发散；或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.若则有机动目录上页下页返回结束数列极限举例求下列极限：类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应

25、的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。对于数列极限故很自然地第二节函数的极限又如：当时，，记作相似地相似地，可定义单侧情形：自变量趋于无穷大时函数的极限yxO-MM即yxoy=arctanx观察y=arctanx的图像从图像容易看出结果xyoy=1/x所以yxoyxo考虑函数f(x)=ax,分a>1,,0

26、eft-handlimit右极限right-handlimitx仅从a的左侧趋于a，记作或x仅从a的右侧趋于a，记作或左极限与右极限8/25nNn>NxX

27、x

28、>Xx+Xx>Xx-Xx<-Xxx00<

29、x-x0

30、<xx0+00

31、>0,使当0<

32、xx0

33、<时,定理5(局部有界性)如果存在，则函数在点的某个去心邻域内有界。计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。初等函数的极限性质如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小举例无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小无穷小与自变量的变化过程有关，如时是无穷小，但时，则不是无穷小。注：1）无穷小是一个变量，而不是一个数因而0是无穷小2）当时，满足无穷小的定义，