02 数列极限与函数极限

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1、练习3xe,x1x2,x0设f(x),(x)2,x,x1x1,x0求f[(x)].1回顾基本概念集合、区间、邻域函数的概念函数的特性有界性、单调性、奇偶性、周期性.函数的运算四则运算、反函数、复合函数。2解：uu=x2-1e(x),(x)1u=x+2u=1f[(x)](x),(x)1(-1,1)(2,1)x01当(x)1时,或x0,(x)x21,x1;2或x0,(x)x11,0x2;302当(x)1时,或x0,(x)x21,1x0;2或x0,(x)x

2、11,x2;综上所述x2e,x1x2,1x0f[(x)].2x10x2e,x21,x24第一章函数与极限§2数列的极限§3函数的极限5§2数列的极限(LimitsofSequences)一、数列极限的定义二、收敛数列的性质7公务员考试数列题(1)0，-2，1，-3，4，10,(?)(2)4，3，8，11，20,31,(?)(3)3，-2，0，-3，-4,-8,(?)8公务员考试数列题（1）0，-2，1，-3，4，10,(?)932aa(n1)nn19一、数列极限的定义割圆术我国古代数学家刘徽在《九章

3、算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-----割圆术，就是极限思想在几何上的应用。12正六边形的面积A1正十二边形的面积A2Rn1A正62形的面积nA,A,A,,A,S123n说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.141613一、数列极限的定义1数列按照某一规律排列成的无穷多个数，叫无穷数列，简称数列．依次记为x,x,,x,或者{x}12nn其中每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。14注：1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,,xn,.

4、x3x1x2x4xn2）数列可看做自变量是正整数的函数xf(n).n15y11111例如{},,,,,;.2n2482n..1n1111n.....{()},,,,(),,.22482.O.x.161{1}0.9,0.99,0.999,0.9999,……n10n114n(1)n1n(1)………{}2,,,,,n23n--------数列极限的定义172数列极限的定义设{}x为一数列，如果存在常数a，对于n任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正数N，使得当n>N时，不等式xae都成立，那么就称常数a是数列nx的极限，或者称数列x收

5、敛于a,记为nnlimxa,或xna(n).nn如果不存在这样的常数a，就说数列没有极限，或者说数列是发散的。19注1)不等式xnae刻划了xn与a的无限接近2)N与任意给定的正数e有关，但N不是e的函数3)e具有任意性，N具有存在性4）数列的极限与前面的有限项无关。213几何解释limxa,nn2eaeaexxxaxxx21N1N23当nN时,所有的点x都落在(ae,ae)内,n只有有限个(至多只有N个)落在其外.22例1设xC(C为常数),证明limxC.nnn证明任给e0,对于一切自然数n,xCCC0

6、e成立,n所以,limxnC.n说明常数列的极限等于同一常数.24二、收敛数列的性质1极限的唯一性定理1收敛的数列只有一个极限.272有界性对于数列{xn}，如果存在着正数M，使得一切xn都满足不等式xMn，则称数列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的。n例如，数列x是有界的，nn1n数列x2是无界的。n数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M,M]上。29定理2收敛的数列必定有界.注1有界性是数列收敛的必要条件.n注2有界数列不一定收敛.数列xn(1).n注3无界数列必定发散.数列xn2.30数列的极

7、限小结数列极限：极限思想，定义，几何解释收敛数列的性质：唯一性，有界性。35§3函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质371观察函数当x时的变化趋势.x1观察函数当x0时的变化趋势.x108642246810381、自变量趋于有限值时函数的极限定义1如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d,使得对于适合不等式0xxd的一切x,对应的函数值f(x)都0满足不等式f(x)Ae,那末常数A就叫函数f(x)当xx时的极限,记作0limf(x)A或f(x)A(当xx0)xx041f(x)Ae表示f(x)A任意小;0

8、xx0d表示xx0的过程.δdx