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1、数列的极限按一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列,数列.可简记为其中的每个数称为数列的项,称为(一般项).注:(1)数列可看作数轴上一个动点,它在数轴上依次取值(2)数列可看作自变量为正整数的函数:定义1设有数列与常数如果当无限增大时,无限接近于,则称常数为数列收敛于,记为或如果一个数列没有极限,就称该数列是发散的.注:记号常读作:当趋于无穷大时,趋于例1其收敛于何值.若收敛,下列各数列是否收敛,试指出解(1)数列即为易见,当无限增大时,也无限增大,故该数列是发散的;(2)解易见,当无限增大时,也无限接近0,故该数列收敛于;解(3)数列即为易见,当无限增大时,无休止地反
2、复取两个数,而不会无限接近于任何一个确故该数列是发散的;定的常数,(4)数列即为易见,当无限增大时,无限接近于,故该数列收敛于.函数极限的引入数列可看作自变量为正整数的函数:数列的极限为即:当自变量取正整数且无限增大时,对应的函数值无限接近数若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开,可以由此引出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数则就称为在该变化过程中函数的极限.显然,极限是与自变量的变化过程密切相关自变量趋向无穷大时函数的极限当定义2如果当的绝对值无限增大时，函数无限接近于常数，则称常数为函数时的极限，记作如果在上述
3、定义中，限制只取正无穷或负无穷即有则称常数为函数当时的极取限.注意到意味着同时考虑可以得到下面的定理定理1极限的充分必要条件是例2求极限解因为当的绝对值无限增大时，无限接近于0即函数无限接近于常数1,所以例3讨论极限观察函数的图形（见下图）易知：所以极限不存在.当自变量的绝对值无限增大时，对应的函数值在区间[-1,1]上振荡，不接近任何常数例4讨论极限解当时，当时，所以不存在.自变量趋向有限值时函数的极限现在研究自变量无限接近有限值(即)时,函数的变化趋势.定义3设函数在点的某一去心领域内有定义.如果当时,函数无限接近于常数则称常数为函数当时的极限.记作或例5试根据定义
4、说明下列结论:解(1)当自变量趋于时,显然,函数也趋于故(2)当自变量趋于时,函数始终取相同的值故函数的左极限与右极限函数从左侧(或右侧)趋于当自变量时,趋于常数,则称为在点处的左极限(或右极限),记为或左极限和右极限的示意图.注意到意味着同时考虑与可以得到下面的定理:定理2极限的充分必要条件是例6设求解因为即有所以不存在.内容小结1.数列的极限数列极限的定义2.函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限函数的左极限与右极限极限运算法则定理设则(1)(2)(3)其中推论1如果存在,而为常数,则即:常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果存在,而是
5、正整数,则例1求解注：设则有例2求解例3求解分子和分母的极限都是零.时,此时应先约去不为零的无穷小因子后再求极限.消去零因子法例4计算解不能直接使用商的极限运算法则.但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子.时,当定理2(复合函数的极限运算法则)设函数是由函数与函数复合而成,若则且在的某去心邻域内有注:若函数和满足该定理的条件,则作代换可把求化为求其中定理2表明:例5计算解令因为则函数可视为由构成的复合函数.且时所以例6计算解所以令则且第一重要极限例7求解例8求解原式例9求解利用单调有界准则可以证明这个等式.等式右端的其值为2.718281828459045数是数学中一
6、个重要常数,基本初等函数中的指数函数下表有助于读者理解这个极限.以及自然对数中的底就是这个常数.1221010001000001000001000002.252.5942.7172.71812.718122.718128例10求解例11求解令则时,于是注:本例的结果今后常作为公式使用.9.28例12求解例13解求内容小结1.掌握极限的四则运算法则设则2.会用复合函数的极限运算法求极限其中3.了解极限存在准则,掌握两个重要极限及其应用无穷小的概念定义极限为零的变量称为无穷小.例如:时的无穷小.函数是当时的无穷小.函数是当时的无穷小.函数是当注意:(1)无穷小是变量,不能与
7、很小的数混淆.(2)零是可以作为无穷小的唯一常数.无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,是无穷小,但个之和为1,不是无穷小.时,性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例如当时,变量都是无穷小.性质3性质4有限个无穷小的乘积也是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.例1解所以,求因为而当时,是无穷小量,是有界量无穷大的概念定义2并记作(或)时,如果在函数的绝对值无限增大,为当则称函数(或)时的无穷大.当(或)时为无穷大的函数按通常的意义来说,极限是不存在的.但为了叙述函数这一形态的
