2015届高三上学期期中考试数学（理）试题.doc

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1、【题文】（本小题满分12分）设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值.【答案】【解析】【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（1）+y2=1（2）2（1）设P（x，y），则=（x+c，y），=（x-c，y），∴=x2+y2-c2=x2+1-c2，x∈[-a，a]，由题意得，1-c2=0c=1a2=2，∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4k

2、mx+2m2-2=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0，化简得：m2=2k2+1．设d1=

3、F1M

4、=，d2=

5、F2N

6、=，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则

7、d1-d2

8、=

9、MN

10、×

11、tanθ

12、，∴

13、MN

14、=•

15、d1-d2

16、，∴S=••d1-d2

17、•（d1+d2）===，∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，

18、m

19、＞1，

20、m

21、+＞2，∴S＜2．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．【思路点拨】（1）利用的最小值为0，可得=x2+y2-c2=x2+1-c2

22、，x∈[-a，a]，即可求椭圆C的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=

23、F1M

24、，d2=

25、F2N

26、．当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则

27、d1-d2

28、=

29、MN

30、×

31、tanθ

32、，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，即可得出S的最大值．【标题】吉林省长春十一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题【结束】