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1、第四章数系的扩充___复数4.3数系的扩充我们知道,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac<0时,没有实数根.这说明,人们在研究代数方程的过程中,限制实数集合,有些问题就无法解决.因此,需要把实数集进一步扩充,这就是本章里我们将要学习的复数的知识.复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的.大约经过了一个世纪,才逐步形成完整的理论.现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,复数也是初等数学的基础知识.1.数的发展过程
2、(经历):自然数计数的需要(正整数和零)———————负数表示相反意义的量解方程x+3=1————————分数测量、分配中的等分解方程3x=5(分数集)有理数集循环小数集—————无理数度量解方程x2=2(实数集小数集循环小数不循环小数数轴上的点)解方程x2=-1表示坐标平面上的点————————虚数(1)实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的(实数集所不具有)性质和特点？2.如何探索复数集的性质和特点？探索途径：3.实数集的一些性质和特点：(1)实数可以判定相等或不相等；(2
3、)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数不能进行开偶次方根运算；……4.实系数一元二次方程的根对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)，当△=b2－4ac>0时,方程有两个不同的实根，x=；当△=b2－4ac=0时,方程有两个相同的实根，x1=x2=；当△=b2－4ac<0时,方程有两个共轭的虚数根，x=.在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍然成立，即x1+x2=；x1x2=.例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.解:例2:已知方程x
4、2+x+a=0有两虚根x1、x2,且
5、x1-x2
6、=3,求实数a.解:说明:由于x1、x2是虚根,因此原来在实根时的计算式不再成立.１．复数的值是()(A)-i(B)-i(C)-1(D)1(C)2.复数在复平面上对应的点不可能位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(A)3.i是虚数单位,()(A)1-i(B)-1-i(C)1+3i(D)-1-3i(D)4.(1-i)2.i=()(A)2-2i(B)2+2i(C)-2(D)2(D)5.设复数z满足,则
7、1+z
8、=()(A)0(B)1(C)(D)2(C)6.已知复数z
9、1=3+4i,z2=t+i,且z1.z2是实数,则实数t=()(A)3/4(B)4/3(C)-4/3(D)-3/4(A)7.复数z的共轭复数是()(A)(B)(C)(D)(B)8.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=()(A)0(B)2(C)5/2(D)5(D)9.()(A)-2-i(B)-2+i(C)2-i(D)2+i(C)10.若复数是纯虚数,则实数a的值为()(A)-2(B)4(C)-6(D)6(C)11.若复数z满足方程zi=i-1,则z=_____________12.若复数z满足(3+z)i=
10、1,则z=_____________13.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为______1-i-3-i8/3例2:计算：（1）若ω=，ω3=1，计算：（2）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解：（1）要充分运用好ω的特点，在运算过程中发现规律.因为ω6=1，i6=－1，所以原式=－2.（2）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i－3－4i)+(5+6i
11、－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.
