备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编新教材通用07 立体几何初步(解析版).docx

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专题07立体几何初步考点一:简单几何体的表面积和体积1.(2023·北京)已知三棱柱的体积为12,则三棱锥的体积为(    )A.3B.4C.6D.8【答案】B【详解】三棱锥与三棱柱等底等高,则三棱锥的体积是三棱柱体积的,即三棱锥的体积为4.故选:B2.(2023·河北)将一块棱长为60cm的正方体石块,磨制成一个球形石块,则最大球形石块的体积是(取)(    )A.B.C.D.【答案】B【详解】由题意可得,该问题相当于求正方体内切球体积,易知当石块直径等于正方体棱长时其体积最大,即最大球形石块的半径为30cm,根据球的体积公式可得.故选:B3.(2023春·福建)已知球体O的半径为2,则球体O的表面积为(    )A.B.C.D.【答案】C【详解】设球体O的半径为,所以由球体O的表面积公式可得.故选:C.4.(2022·北京)如图,在直三棱柱中,是等腰直角三角形.若,则该直三棱柱的体积为(    )A.6B.12C.18D.24【答案】D【详解】因为在直三棱柱中,是等腰直角三角形,学科网(北京)股份有限公司 ,则为直角,故可得:,故选:D5.(2022春·天津)已知圆锥的底面半径是1,高是2,则这个圆锥的体积为(    )A.B.C.D.【答案】A【详解】由题意知,圆锥底面积为,圆锥的高,则圆锥的体积为.故选:A6.(2021·北京)如图,在三棱锥中,,则三棱锥的体积为(    )A.1B.2C.6D.12【答案】B【详解】解:因为,所以即为三棱锥高,所以.故选:B.7.(2021春·天津)如图,圆柱的底面半径是2,高是3,则这个圆柱的体积是(    )  A.B.C.D.【答案】D【详解】由圆柱的体积公式可得,该圆柱的体积为:.故选:D8.(2023·山西)在三棱锥中,平面BCD,,则三棱锥的外接球的表面积的最小值为(    )学科网(北京)股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【详解】设底面的外接圆的半径为r,,则在中,,可得,所以,设底面三角形的外心为,过作底面的垂线,由于平面BCD,故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心,设外接球的半径为R,而,则外接球的半径为,即当即时,三棱锥的外接球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球表面积取得最小值:,故选:B9.(2022春·浙江)某广场设置了一些石凳供大家休息,每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图,从棱的中点截).如果被截正方体的棱长是4(单位:),那么一个石凳的体积是(单位:).【答案】【详解】正方体的体积为,正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥,截去的一个正三棱锥的体积为,则石凳的体积为.学科网(北京)股份有限公司 故答案为:.10.(2022春·贵州)已知长方体的三条棱长分别为1,,,则该长方体外接球的表面积为.(结果用含的式子表示)【答案】【详解】由题意得,长方体的体对角线即为外接球直径,设外接球半径为,则,则外接球的表面积为.故答案为:.11.(2021春·福建)半径为的球的体积为.【答案】【详解】根据球的体积公式.【点睛】球的体积公式12.(2021秋·青海)如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上下底面及母线均相切,已知圆柱的底面半径为3,则圆柱的体积为.【答案】【详解】设圆柱的底面半径为,球的半径为.由条件有:,圆柱的高为,所以圆柱的体积为.故答案为:考点二:空间点、直线、平面的位置关系1.(2023·北京)四棱锥如图所示,则直线PC(    )A.与直线AD平行B.与直线AD相交学科网(北京)股份有限公司 C.与直线BD平行D.与直线BD是异面直线【答案】D【详解】根据异面直线的定义,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.故选:D.2.(2023·河北)已知m,n是两条不同的直线,是平面,则下列四个结论中正确的是(    )A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若m,n与所成的角相等,则【答案】A【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行,即A正确;若,,可知m,n的位置关系可以是平行、相交或异面,即B错误;若,,则直线可以在平面内,所以C错误;由线面角的定义可知,若m,n与所成的角相等,则m,n的位置关系可以是平行、相交或异面,即D错误.故选:A3.(2023·山西)已知三条不重合的直线,,,三个不重合的平面,,,则(    )A.若,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,,则【答案】C【详解】对于A中,若,,则或,所以A项不正确;对于B中,若,,,则或与相交,所以B项不正确;对于C中,设,在平面内任取一点,作,垂足分别为,由面面垂直的性质定理,可得,又因为,可得,所以C项正确;对于D中,若,,,,只有相交时,才有,所以D项不正确.故选:C.4.(2023·江苏)已知直线平面,直线平面,则与不可能(    )A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B【详解】直线平面,直线平面,则与可能平行,异面和垂直,若与相交,,则,,直线平面,故,即与有交点,这与题设矛盾.故选:B学科网(北京)股份有限公司 5.(2023春·浙江)下列说法正确的是(    )A.一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等,则这两个面平行B.和同一条直线都相交的两条直线一定相交C.经过空间中三个点有且只有一个平面D.经过两条相交直线有且只有一个平面【答案】D【详解】对于A,一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等,则这两个面可能相交也可能平行,例如在正方体中,平面中的点到平面的距离均相等,但是平面与平面相交,不平行,故A错误,对于B,和同一条直线都相交的两条直线不一定相交,例如正方体中均与相交,但是不相交,故B错误,对于C,经过空间中三个不共线的点有且只有一个平面,故C错误,对于D,两条相交直线可以确定一个平面,因此经过两条相交直线有且只有一个平面,故D正确,故选:D  6.(2023春·福建)已知四棱锥底面为正方形,平面,则(    )  A.B.C.平面D.平面【答案】B【详解】对于A选项,因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,因为,、平面,所以,平面,因为平面,则,故为锐角,A错;对于B选项,因为平面,平面,则,B对;学科网(北京)股份有限公司 对于C选项,若平面,且平面,则、平行或重合,矛盾,假设不成立,C错;对于D选项,若平面,则与平面无公共点,这与平面矛盾,假设不成立,D错.故选:B.7.(2023·广东)已知α和β是两个不同平面,A:,B:α和β没有公共点,则A是B的(    )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】两个平面平行的定义是:两个平面没有公共点,则这两个平面平行,因此是的充要条件.故选:C.8.(2023春·新疆)已知直线和两个不重合的平面,则下列命题正确的是(    )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】D【详解】若,则不一定平行,还可以相交,故A错误;若,则,故B错误;若,则不一定平行,还可以相交,故C错误;若,则必存在直线,且,而,所以,所以,故D正确.故选:D9.(2022·北京)在空间中,设是不同的直线,是不同的平面,则下形命题中真命题是(    )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【详解】若,则或与相交或与是异面直线,故A错误;若,则,故B正确;若,则或与相交,故C错误;若,则或与相交,故D错误.故选:B.10.(2022秋·广东)已知直线与平面,则下列结论成立的是(    )A.若直线垂直于平面内的一条直线,则B.若直线垂直于平面内的两条直线,则C.若直线平行于平面内的一条直线,则D.若直线与平面没有公共点,则学科网(北京)股份有限公司 【答案】D【详解】对于A选项,若直线垂直于平面内的一条直线,则或与相交(不一定垂直)或,A错;对于B选项,若直线垂直于平面内的两条直线,则与的位置关系不确定,B错;对于C选项,若直线平行于平面内的一条直线,则或,C错;对于D选项,若直线与平面没有公共点,则,D对.故选:D.11.(2022春·广西)如图,正方体中,分别是的中点,则下列结论正解的是(    )A.B.C.与相交D.与相交【答案】B【详解】由分别是的中点可得,又易得,则.故选:B.12.(2022春·贵州)如图,在正方体中,直线与的位置关系是(    )A.相交B.平行C.异面不垂直D.异面垂直【答案】B【详解】在正方体中,且,所以四边形为平行四边形,所以.故选:B13.(2021秋·浙江)已知平面和直线,则下列说法正确的是(    )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则学科网(北京)股份有限公司 【答案】C【详解】解:对于A选项,若,则或相交,故A选项不正确;对于B选项,若,则或相交,故B选项不正确;对于C选项,若,则,为面面垂直的判定定理,故C选项正确;对于D选项,若,则,故D选项不正确.故选:C.14.(2021春·贵州)如图,正方体中,E为的中点,则下列直线中与平面AEC平行的是(    )A.B.C.D.EO【答案】C【详解】解:对于A,因为直线与平面AEC交于点,故不平行;对于B,因为直线与平面AEC交于点,故不平行;对于C,在正方体中,因为E为的中点,为的中点,所以,又平面AEC,平面AEC,所以平面AEC;对于D,因为平面AEC,故不平行.故选:C.15.(2021秋·贵州)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线与平面DAA1D1的位置关系是(    )学科网(北京)股份有限公司 A.直线与平面平行B.直线与平面垂直C.直线与平面相交但不垂直D.直线在平面【答案】A【详解】连接,由正方体的性质可得且,所以为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面,故选:A16.(多选)(2021·湖北)已知,是平面外的两条不同的直线,则下列命题中正确的是(   )A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则【答案】BC【详解】解:对于A,直线和可以相交或者异面,故A错,对于B,,假设,,又,故,则,故B对,学科网(北京)股份有限公司 对于C,因为,,又,则,故C对,对于D,直线可以与平面平行,故D错.故选:BC.17.(2023·北京)如图,在正方体中,是正方形ABCD及其内部的点构成的集合.给出下列三个结论:①,;②,;③,与不垂直.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【详解】对于①,平面,,,故①正确;对于②,当到达点时,,,是平行四边形,,,,,故②正确;对于③,平面过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外,,与不垂直,故③正确.故答案为:①②③.18.(2022春·广西)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,,则这个三棱锥的四个面中,是直角三角形的个数有个.学科网(北京)股份有限公司 【答案】【详解】由于平面,所以,所以三角形和三角形是直角三角形.由于,所以,三角形是直角三角形.由于,所以平面,所以,所以三角形是直角三角形.所以三棱锥四个面中,是直角三角形的个数有个.故答案为:19.(2021·北京)如图,在正方体中,E是的中点.给出下列三个结论:①;②;③线段的长度大于线段的长度.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【详解】连接、、,并设正方体的棱长为.对于①,由于,可知平面,①正确;对于②,由于,又是的中点,易知,②正确;对于③,、、是正方体的面对角线,可知,因此是等边三角形,而是等边三角形边上的高线,因此,③正确.学科网(北京)股份有限公司 故答案为:①②③考点三:异面直线所成角1.(2023春·湖南)如图,在正方体中,异面直线AC与所成的角为(    )  A.B.C.D.【答案】D【详解】由题意,正方体中得,故异面直线AC与所成的角,即正方形对角线与的夹角,故选:D2.(2023·云南)在正方体中,异面直线与所成角的大小为(    )A.B.C.D.【答案】C【详解】连结、,如下图:学科网(北京)股份有限公司 在正方体中,且;四边形为平行四边形,则;又在正方体中,为等边三角形,就是异面直线与所成角,,异面直线与所成角的大小为.故选:C.3.(2021春·河北)如图,在正方体中,分别是,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(    )A.B.C.D.【答案】B【详解】取的中点,连接,.为正方体,.又,分别是,的中点,,异面直线与所成的角为.学科网(北京)股份有限公司 设正方体的棱长为,平面,,,,在中,.故选:B4.(2021秋·浙江)如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(    )A.B.C.D.【答案】A【详解】取的中点,连接由分别为的中点,则且在正方体中且,所以且所以四边形为平行四边形,所以则(或其补角)为异面直线与所成角.设正方体的棱长为2,则在中,,所以故选:A5.(2021春·福建)如图的正方体中,异面直线与所成的角是(    )学科网(北京)股份有限公司 A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【详解】在正方体中,平面,平面,异面直线与所成的角是.故选:D.考点四:直线与平面所成角1.(2023·江苏)如图,正方体中,直线与平面所成角的正切值为(    )A.1B.C.D.【答案】C【详解】如图所示:连接,因为平面,故线与平面所成角,设正方体棱长为1,则,.故选:C学科网(北京)股份有限公司 2.(2022秋·浙江)如图,正方体中,N是棱的中点,则直线CN与平面所成角的正弦值等于(    )A.B.C.D.【答案】B【详解】连接、交于,由正方形的性质可得,又平面,平面,,又与在平面内相交,所以平面是与平面所成的角,设正方体的棱长为2,则,,,故选:B.3.(2021秋·浙江)如图,在三棱锥中,,分别为棱的中点,记直线与平面所成角为,则的取值范围是(    )学科网(北京)股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【详解】由,,将底面补全为正方形ABCG,如下图示,O为ABCG对角线交点且,又有,,∴面,而面,故面面,若H为DG的中点,连接FH,又为棱的中点,则且,而,,有平行且相等,即为平行四边形.∴可将平移至,直线与平面所成角为,且中,令,,即,∴△中,,即,∵,即,∴,解得(舍去),综上有,故选:C4.(2021秋·贵州)如图,在三棱锥中,⊥底面,,则直线与平面所成角的大小为学科网(北京)股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【详解】由题意可知,⊥底面,所以为直线与平面所成角,,所以三角形为等腰直角三角形,所以,故选B考点五:二面角1.(2023·河北)如图,在四棱锥中,底面为矩形,是等边三角形,平面底面,,四棱锥的体积为,E为PC的中点.平面与平面所成二面角的正切值是(    )A.2B.C.D.1【答案】B【详解】分别取的中点为,连接,设,则.因为是等边三角形,所以,又因为平面平面,平面平面,平面,底面,因为四棱锥的体积为,所以,解得.则,,所以,,又因为底面为矩形,所以,所以为平面与平面所成二面角的平面角,.故选:B学科网(北京)股份有限公司 考点六:立体几何解答题1.(2023·北京)阅读下面题目及其解答过程.如图,在直三棱柱中,,D,E分别为BC,的中点.(1)求证:平面;(2)求证:.解:(1)取的中点F,连接EF,FC,如图所示.在中,E,F分别为,的中点,所以,.由题意知,四边形为①.因为D为BC的中点,所以,.所以,.所以四边形DCFE为平行四边形,所以.又②,平面,学科网(北京)股份有限公司 所以,平面.(2)因为为直三棱柱,所以平面ABC.又平面ABC,所以③.因为,且,所以④.又平面,所以.因为⑤,所以.以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).空格序号选项①A.矩形                 B.梯形②A.平面   B.平面③A.           B.④A.平面   B.平面⑤A.           B.【答案】(1)①A;②A;(2)③B;④A;⑤B【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知:结论为四边形为矩形,填A;②由线面平行的判定条件,条件中缺平面,填A;③由线面垂直的性质知:结论为,填B;④由线面垂直的判定知:结论为平面,填A;⑤根据及所得结论为,条件应为,填B.故答案为:A,A,B,A,B2.(2023·山西)如图所示,三棱柱,底面是边长为2的正三角形,侧棱底面,点分别是棱,上的点,点是线段的中点,.  (1)求证平面;学科网(北京)股份有限公司 (2)求与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)与所成角的余弦值为.【详解】(1)取的中点,连接,  ∵分别为的中点,∴,,由,且,∴,且,∴四边形为平行四边形,故,又平面,平面,∴平面;(2)因为,所以为直线与所成角,中,,直角梯形中,,过作,为垂足,如图所示,  则,,,,,所以为等腰三角形,则,中,,所以,中,,所以学科网(北京)股份有限公司 所以与所成角的余弦值为.3.(2023·江苏)如图,三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)因为分别是的中点,所以,因为平面,平面,所以平面;(2)因为是等边三角形,是的中点,所以,因为,平面,所以平面,因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形,所以4.(2023春·福建)如图,长方体,,.(1)求三棱锥的体积;(2)证明:平面.【答案】(1)(2)证明见解析学科网(北京)股份有限公司 【详解】(1)解:在长方体中,平面,且,因为,,则,,因此,三棱锥的体积为.(2)证明:在长方体中,且,所以,四边形为平行四边形,则,因为平面,平面,因此,平面.5.(2023春·湖南)如图,P为圆锥的顶点,O为底面圆的圆心,AC为底面圆的直径,B是底面圆周上不同于A,C的任意一点,点D,E分别为母线PB,PC的中点.  (1)求证:平面ABC;(2)若,,求圆锥PO的体积.【答案】(1)见解析(2)【详解】(1)由于D,E分别为母线PB,PC的中点,所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC(2)AC为底面圆的直径,B是底面圆周上不同于A,C的任意一点,所以,又,所以,因此底面圆的半径为,故圆锥PO的体积为,6.(2023·广东)如图,圆的直径为4,直线PA垂直圆所在的平面,C是圆上的任意一点.(1)证明BC⊥面PAC;学科网(北京)股份有限公司 (2)若求PB与面PAC的夹角.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)证明:平面,平面,∴,同理,是圆直径,在圆周上,因此,又,平面,∴平面;(2)由(1)平面,∴是与平面所成的角,又平面,∴,由已知,,所以,∴与平面所成的角是.7.(2023·云南)如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,平面.(1)求四棱锥的体积;(2)求证:平面.【答案】(1)(2)证明见详解【详解】(1)已知四棱锥的底面是边长为1的正方形,由平面得四棱锥的高为,所以四棱锥的体积;(2)因为四棱锥的底面是正方形,所以,因为平面,平面,所以,又,平面,平面,所以平面.8.(2023春·新疆)在三棱锥中,底面,,E,F分别是BC,PC的中点.学科网(北京)股份有限公司 (1)证明:平面;(2)证明.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】(1)在中,因为E,F分别是BC,PC的中点,则,因为平面,平面,所以平面.(2)因为底面,平面,则,又平面,因此平面,而平面,于是,由(1)知,所以.9.(2022·北京)阅读下面题目及其解答过程.如图,已知正方体.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:直线与平面不平行.解:(Ⅰ)如图,连接.因为为正方体,所以平面.所以①___________.因为四边形为正方形,所以②__________.因为,所以③____________.学科网(北京)股份有限公司 所以.(Ⅱ)如图,设,连接.假设平面.因为平面,且平面平面④____________,所以⑤__________.又,这样过点有两条直线都与平行,显然不可能.所以直线与平面不平行.以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个符合推理,请选出符合推理的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).空格序号选项①A.              B.②A.               B.③A.平面        B.平面④A.                    B.⑤A.              B.与为相交直线【答案】(Ⅰ)①A  ②B  ③B;(Ⅱ)④A  ⑤A【详解】要证明,可通过证明平面来证得,要证明平面,可通过证明来证得,所以①填A,②填B,③填B.平面与平面的交线为,所以④填A,由于平面,因为平面,且平面平面,根据线面平行的性质定理可知,,所以⑤填A.10.(2022秋·广东)如图,PA是圆柱的母线,AB是底面圆的直径,C是底面圆周上异于A.B的一点,且.学科网(北京)股份有限公司 (1)求证:平面PAC(2)若M是PC的中点,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)∵PA为圆柱母线,∴平面ACB,∵平面,∴,∵AB为底面圆直径,∴,∵平面APC,平面APC,,∴平面PAC.(2)∵平面APC,平面平面APC,∴平面ACM,BC为三棱锥的高,,∵,M为PC中点,∴,,,∴.11.(2022秋·福建)如图,在三棱锥中,平面平面(1)求证:PA;(2)若,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)证明:因为平面平面,平面平面,平面学科网(北京)股份有限公司 ,所以平面,又平面,所以PA;(2)解:由(1)知平面,所以,又,所以,因为,所以,所以,所以,所以三棱锥的体积.12.(2022春·天津)如图,四棱锥的底面是正方形,平面ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.  (1)求证:平面PDB;(2)求证:平面PDB.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】(1)因为M,N分别是BC,PC的中点,故.又平面,平面,故平面PDB.(2)因为平面ABCD,且平面,故.又因为四棱锥的底面是正方形,则.又,平面,故平面PDB.学科网(北京)股份有限公司     13.(2022·山西)如图,在直四棱柱中,底面为菱形,为中点.(1)求证:平面;(2)求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;【详解】证明:(1)设与交于点,接,底面是菱形,为中点,又因为是的中点,,面,平面平面.(2)底面是菱形,学科网(北京)股份有限公司 ,底面,底面,,且,平面.平面.平面,.14.(2022春·浙江)如图,在四棱锥中,底面是梯形,,平面,点是棱上的一点.(1)若,求证:平面;(2)若是的中点,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)证明:连接交于,连接,因为∥所以∽,所以,因为,所以,所以∥,因为平面平面所以∥平面学科网(北京)股份有限公司 (2)过作于,因为平面,平面,所以平面平面,因为平面平面,所以平面,因为平面,所以过作于,连接,因为,所以平面,因为平面,所以所以是二面角的平面角,不妨设,则,因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以学科网(北京)股份有限公司 15.(2022·湖南)在直三棱柱中,,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1),为中点,,在直三棱锥中,平面,平面.,又,平面(2),为中点,,由(1)知,四棱锥的高即为,又,所以,.16.(2022春·广西)如图,AB是底面的直径,C为上异于A、B的点,PC垂直于所在平面,学科网(北京)股份有限公司 D、E分别为PA、PC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC.(2)求证:平面BDE⊥平面PBC.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析【详解】(1)由于分别是的中点,所以,由于平面平面,所以平面.(2)依题意平面,所以.由于是圆的直径,所以,由于,所以平面,由于,所以平面,由于平面,所以平面平面.17.(2022春·贵州)如图,直三棱柱中,,M为棱上一点.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:.【答案】(1);(2)证明见解析(1)由直三棱柱可得平面,又,可得学科网(北京)股份有限公司 ,则;(2)由题意得,平面,平面,则,又,,平面,则平面,又平面,则.18.(2021·北京)如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】(1)由底面是正方形,又平面,平面,平面(2)平面,平面,又底面是正方形,又,平面,平面19.(2021春·天津)如图,长方体中,底面是正方形.  (1)求证:平面;(2)求证:平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】(1)在长方体中,且,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.(2)因为底面是正方形,所以,又,所以,学科网(北京)股份有限公司 又平面,平面,所以,又,平面,所以平面.20.(2021秋·吉林)如图,三棱柱中,平面ABC,AB=3,AC=4,BC=5.(1)求证:平面;(2)若异面直线与所成的角为30°,求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)平面ABC,平面ABC,有.AB=3,AC=4,BC=5,有,由勾股定理得.,平面,∴平面(2)由,异面直线与所成的角即为,,又平面ABC,平面ABC,∴,则,得,,所以三棱柱的体积.21.(2021·吉林)如图,在正方体中,、分别为、的中点.(1)求证:;(2)求证:平面.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【详解】证明:(1)连结,由正方体得,平面.又平面,又四边形是正方形,∴,学科网(北京)股份有限公司 而,∴平面,又平面,∴.(2)连结,由、分别为、的中点得,且∴四边形是平行四边形,∴又平面,平面,∴平面.22.(2021春·福建)如图,在三棱锥中,E,F分别是AB,AP的中点.(1)求证:平面;(2)若三棱锥的各棱长均为2,求它的表面积.【答案】(1)证明过程见解析;(2)【详解】(1)因为E,F分别是AB,AP的中点,所以EF是三角形ABP的中位线,所以EF//PB,因为平面,平面,所以平面.(2)若三棱锥的各棱长均为2,则该三棱锥为正四面体,四个面是全等的等边三角形,故它的表面积为23.(2021秋·福建)如图,在三棱锥中,已知△ABC和△PBC均为正三角形,D为BC的中点.学科网(北京)股份有限公司 (1)求证:平面;(2)若,,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)因为△ABC和△PBC为正三角形,D为BC的中点,所以,又,所以平面(2)因为△ABC和△PBC为正三角形,且,所以,又,所以正三角形的面积为,所以.24.(2021秋·河南)如图,在三棱柱中,点D是AB的中点.(1)求证:平面;学科网(北京)股份有限公司 (2)若平面ABC,,,,,求三棱柱的体积.【答案】(1)见解析(2)【详解】证明:(1)设,连接DE.因为四边形是平行四边形,所以E是的中点.在中,因为,,所以.又因为平面,平面,所以平面.解:(2)因为平面ABC.所以为三棱柱的高.的面积.所以三棱柱的体积.25.(2021·湖北)如图,在棱长为2的正方体中,为棱的中点.求证:(1)平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)如图所示:学科网(北京)股份有限公司 ,连接BD与AC交于点O,连接OE,因为E,O为中点,所以,又平面,平面,所以平面;(2),,.26.(2021秋·广东)如图,在四棱锥P-ABCD中,底边ABCD是边长为2的菱形,PA=AC=2,PA⊥平面ABC,E,F分别为PD,BC的中点.(1)求三棱锥P-ABD的体积;(2)证明:EF∥平面PAB(参考公式:锥体的体积公式为V=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高)【答案】(1);(2)证明见详解;【详解】(1)因为在四棱锥P-ABCD中,底边ABCD是边长为2的菱形,且AC=2,所以则,学科网(北京)股份有限公司 又PA⊥平面ABC,所以.(2)取线段PA中点H,连接HE,BH,因为E,F分别为PD,BC的中点,所以,,则,所以四边形为平行四边形,所以,又面,面,所以面.27.(2021秋·广西)《九章算术》是我国古代数学专著,书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,在阳马中,平面,为的中点.(1)求证:平面;(2)若,求证:.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【详解】(1)连接交于点,连接,∵分别为的中点,则,平面,平面,∴平面.学科网(北京)股份有限公司 (2)∵平面,平面,∴,又∵为矩形,则,且平面,∴平面,由平面,可得,若,且为的中点,则,平面,,则平面,平面,故.28.(2021春·贵州)如图,三棱柱中,底面ABC,,且.(1)求直线与平面ABC所成角的大小;(2)求证:平面.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】(1)解:因为底面,底面,所以,所以为在底面的射影,所以为直线与平面所成角,又,所以,即直线与平面所成角为;(2)证明:因为底面,底面,所以,又,且,平面,所以平面;29.(2021·贵州)如图,在正方体中,为的中点.学科网(北京)股份有限公司 (1)求证:平面;(2)判断与平面的位置关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)平面,理由见解析.【详解】(1)四边形是正方形,,在正方体中,平面,平面,,,因此,平面;(2)平面,理由如下:证明:设,连接,、分别为、的中点,,平面,平面,因此,平面.30.(2021秋·青海)如图,在三棱锥中,侧棱底面,,、分别是棱、的中点.学科网(北京)股份有限公司 (Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)证明:.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.【详解】证明:(Ⅰ)∵,分别是,的中点,∴.又平面,平面,∴平面.(Ⅱ)∵侧棱底面,∴,又由,,∴平面,∴,又∵,∴.学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司

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