备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编新教材通用09 概率（解析版）.docx

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专题09概率考点一：古典概型1．（2023·北京）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据古典概型概率公式计算.【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为.故选：A2．（2023·河北）某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】列举出所有的基本事件，得到基本事件的总数，找出满足条件的事件数，由概率公式求解即可.【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：，则随机选取2个城市的基本事件为：，共10种，选出的2个城市都在国内的情况为：共3种，故所求概率.故选：D.3．（2023·江苏）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可【详解】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，学科网（北京）股份有限公司 甲被选中共有3种情况，故对应的概率为故选：D4．（2023春·福建）“敬骅号”列车一排共有A、B、C、D、F五个座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用古典概率求解作答.【详解】小曾购票的不同结果有5个，它们等可能，而小曾选到A或F座的结果有2个，所以购票时选到A或F座的概率为.故选：B5．（2023春·湖南）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是，故选：D6．（2023·云南）单项选择题是标准化考试中常用的题型，是从A､B､C､D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是（    ）A．1B．C．D．【答案】D【分析】由古典概型的概率公式求解.【详解】该考生选择的答案可以为：A，B，C，D，其中正确答案只有一个，故答对的概率是.故选：D7．（2022春·天津）从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女生的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意直接计算概率即可.学科网（北京）股份有限公司 【详解】从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，记女生分别为，男生分别为，则所有可能情况为，总共有10种方案，选中的2人都是女生，有1种方案，则所求概率为.故选：D8．（2022春·浙江）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据古典概型直接求得即可.【详解】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为.故选：C.9．（2022秋·福建）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种所以出现向上的点数为奇数的概率是故选：C10．（2022春·贵州）同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案.【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），根据古典概型，概率为，学科网（北京）股份有限公司 故选：A.11．（2021春·天津）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出红球的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】记1个白球为，2个红球分别为、，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有、、、、、共个，其中两次都摸出红球的有、，所以所求概率.故选：A12．（2021春·福建）从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则甲同学被选中的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共种，其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：甲乙、甲丙，共种，故所求概率为.故选：A.13．（2021秋·福建）根据防疫要求，需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，则选中的名都是男医生的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用列举法即可求解.【详解】解：将名男医生记为，，名女医生记为从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，所有可能情况有：，，共种选中的名都是男医生的情况为：，共种学科网（北京）股份有限公司 所以选中的名都是男医生的概率为：.故选：B.14．（2021秋·河南）同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出同时掷两个均匀骰子出现的所有基本事件数，及点数和为7的所有基本事件数，然后可计算概率．【详解】同时掷两个均匀骰子，基本事件有种，其中点数和为7的有16,25,34,43,52,61共6种，所以概率为．故选：C．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数．可用列举法．15．（2021·湖北）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能，其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，所以概率.故选：B.16．（2021秋·广东）连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】基本事件总数，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．【详解】解：连续抛掷两枚骰子，基本事件总数，向上的点数之和为6包含的基本事件有：，，，，，共5个，学科网（北京）股份有限公司 向上的点数之和为6的概率是．故选：．17．（2023·山西）从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是．【答案】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件为：12，13，14，23，24，34，共6个，其中两个数都是偶数的有：24，共1个，所以两个数都是偶数的概率是，故答案为：18．（2023春·新疆）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是．【答案】【分析】由古典概型的概率公式计算即可.【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，两次骰子的点数的样本点共有个，恰好出现一次6点的样本点有个，故所求概率.故答案为：19．（2022秋·广东）从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为．【答案】【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共种情况，其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共种情况，故所求事件的概率为.故答案为：.20．（2021秋·贵州）从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数是偶数的概率为.学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据古典概型直接得解.【详解】由已知1，2，3，4，5这五个数中，偶数为2，4，所以偶数的概率为，故答案为：.21．（2023春·新疆）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加社区志愿者活动，每人被选到的可能性相同．(1)写出试验的样本空间；(2)设M为事件“选出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据题意由试验结果可直接列出试验的样本空间；（2）由事件M所占基本事件个数和古典概型计算公式求解即可.【详解】（1）试验的样本空间为:，共10种结果．（2）选出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有结果为，，，，，共6种，因此事件M发生的概率为.22．（2022春·辽宁）为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．作出频率分布直方图，如图所示．(1)求图中a的值；(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数；学科网（北京）股份有限公司 (3)现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率．【答案】(1)0.035(2)41.5岁(3)【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a的值（2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数.（3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率.【详解】（1）由题意及图得，组距=10，，解得：.（2）由题意，（1）及图得，组距=10，平均数为：，∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁.（3）由题意，（1）（2）及图得，组距=10，，第一组人数：，第二组人数：，从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，∴第一组抽取：，第二组抽取：，从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，设这五人分别为：，则共有下列10种抽取方法：，其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，，∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：，∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：.23．（2021秋·吉林）一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测.(1)写出这个试验的样本空间；(2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)，，，，，，，，，.(2)【分析】（1）直接写出样本空间即可；（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.【详解】（1）试验的样本空间为：，，，，，，，，，.（2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有，，3种情况，故概率.24．（2021秋·青海）如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．(1)如果，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数；(2)如果，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为17的概率．【答案】(1)7.75(2)【分析】（1）根据题意，当时，乙组数据分别为7，7，8，9，由平均数的计算公式计算可得答案；（2）由列举法列出全部基本事件，即可分析“从甲、乙两组中随机选取一名同学”和事件包含的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，当时，乙组数据分别为7，7，8，9，计算这组数据的平均数为，（2）根据题意，记甲组四名同学为，，，，他们单位时间内引体向上次数依次为8，8，10，10，乙组四名同学为，，，，他们单位时间内引体向上次数依次为8，7，8，9；记“选出的两名同学单位时间内引体向上次数和为17”为事件，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有个，依次为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，而中的结果有4个，依次为，，，，，，，，故，即要求事件的概率为．学科网（北京）股份有限公司 考点二：概率基本性质1．（2023·江苏）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ）A．0.09B．0.42C．0.51D．0.6【答案】C【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案.【详解】甲乙都不能译出密码得概率为，故密码被破译的概率为.故选：C2．（2023春·新疆）甲、乙两人进行射击比赛，若甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.3，甲、乙射击是否中靶相互独立，则至少有一人中靶的概率为（    ）A．0.9B．0.72C．0.28D．0.18【答案】B【分析】利用相互独立事件，以及对立事件概率公式，即可求解.【详解】至少有一人中靶的对立事件为没有人中靶，则两人没有人中靶的概率为,所以至少有一人中靶的概率.故选：B3．（2021春·天津）某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(　　)A．0.95B．0.7C．0.35D．0.05【答案】D【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.故答案为D．4．（多选）（2022春·浙江）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为学科网（北京）股份有限公司 【答案】ACD【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．故选：ACD．5．（2023春·湖南）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.  (1)请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；(2)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；(3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.【答案】(1)2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大(2)(3)【分析】（1）由统计图描述变化趋势，（2）由古典概型与互斥事件的概念求解，（3）由对立事件的概念与独立事件的乘法公式求解【详解】（1）由图可知2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大（2）由题意得扇形图中茶叶的占比为,故从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为学科网（北京）股份有限公司 （3）记任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件，则为两天零售额都没有超过1万元，考点三：事件的相互独立性1．（2023·河北）某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（    ）A．0.784B．0.864C．0.928D．0.993【答案】C【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.【详解】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，3人都进球的概率为，3人中恰有2人进球的概率，故至少进2球的概率为，故选：.2．（2022·北京）某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（    ）A．0.24B．0.14C．0.06D．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】依题意，两地都降雨的概率为.故选：C3．（2022春·天津）甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可.【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是,所以两人都成功破译的概率是.故选:A.4．（2022·湖南）甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（    ）学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.【详解】解：记“甲地下雨”为事件，则，记“乙地下雨”为事件，则，两地同时下雨的概率为.故选：A.5．（2022春·浙江）甲､乙两人进行羽毛球单打比赛，假定甲每局获胜的概率都是，且每局比赛结果互不影响，则在三局两胜制的比赛中，甲获胜的概率为．【答案】【分析】根据比分为与分类讨论后相加【详解】甲获胜的概率为，甲获胜时，第三局必为甲胜，，故，故答案为：6．（2023·山西）某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为．(1)求p的值；(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）记解答三道题正确分别为事件，则，从而可求出p的值；（2）记事件为至少答对2道题，则，然后利用独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）记解答三道题正确分别为事件，则,因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为，学科网（北京）股份有限公司 所以，解得（2）记事件为至少答对2道题，则由题意得所以他获奖的概率为7．（2023春·浙江）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立.(1)求两种芯片都开发成功的概率；(2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解；（2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解.【详解】（1）甲小组研发芯片A成功的概率为，乙小组研发芯片B成功的概率为，由于甲、乙两个小组的开发相互独立,所以两种芯片开发都成功的概率.（2）该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功，根据对立事件可知获奖的概率：.8．（2023·云南）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为.(1)求甲､乙都成功破译密码的概率；(2)求至少有一人成功破译密码的概率.【答案】(1)；学科网（北京）股份有限公司 (2).【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答.（2）利用对立事件及相互独立事件的乘法公式计算作答.【详解】（1）令甲破译密码成功的事件为A，乙破译密码成功的事件为B，则，A，B相互独立，甲、乙都成功破译密码的事件为，因此，所以甲、乙都成功破译密码的概率.（2）至少有一人成功破译密码的事件，其对立事件，则，所以至少有一人成功破译密码的概率.学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司