备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编新教材通用05 三角函数（解析版）.docx

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专题05三角函数考点一：任意角和弧度制1．（2022春·天津）化为弧度是A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以，故选D.2．（2021·贵州）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【详解】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选B．考点二：三角函数的概念1．（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意，并且点在第二象限，；故选：C.2．（2023·江苏）已知角的终边经过点，则A．B．C．D．【答案】B【详解】解：角α的终边经过点，则sinα，故选B．3．（2023春·浙江）已知点在角的终边上，则角的最大负值为（    ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 专题05三角函数考点一：任意角和弧度制1．（2022春·天津）化为弧度是A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以，故选D.2．（2021·贵州）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【详解】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选B．考点二：三角函数的概念1．（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意，并且点在第二象限，；故选：C.2．（2023·江苏）已知角的终边经过点，则A．B．C．D．【答案】B【详解】解：角α的终边经过点，则sinα，故选B．3．（2023春·浙江）已知点在角的终边上，则角的最大负值为（    ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【详解】由题意可知点在第四象限，且，所以,故当此时为最大的负值，故选：C4．（2023春·湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）A．B．C．D．1【答案】C【详解】由题意得，故选：C5．（2023·广东）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意．故选：D．6．（2021·北京）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：角以为始边，终边经过点，.故选：B.7．（2022秋·福建）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点(1)求的值；(2)求的值．学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)(2)-7【详解】（1）由题意，，；（2）；综上，.考点三：同角三角函数基本关系1．（2022春·辽宁）已知，且为第二象限角，则（    ）．A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为，且为第二象限角，所以，故选：A2．（2022秋·福建）已知，且为第一象限角，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为为第一象限角，，所以．故选：A．3．（2022秋·广东）已知是第一象限角，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为是第一象限角，则.故选：B.4．（2022春·广西）已知cosα=，tanα=1，则sinα=（   ）学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【详解】.故选：B5．（2022春·贵州）若角是锐角，且，则（    ）A．B．－C．－D．【答案】D【详解】因为，可得，又因为角是锐角，可得，所以.故选：D.6．（2021秋·吉林）已知，且为第二象限角，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】为第二象限角，则.故选：D7．（2021秋·福建）已知，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，，,,所以.故选：D8．（2021·湖北）已知，且为第四象限角，则（   ）A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以故选：D9．（2021秋·广西）已知，，则（    ）A．0B．1C．3D．5【答案】B【详解】由题意可得：.故选：B.10．（2021春·贵州）已知角是锐角，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为且角是锐角，所以，所以；故选：A11．（2021秋·贵州）若是第一象限角，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为是第一象限角，且，所以，故选：A12．（2021秋·贵州）若第三象限角，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为第三象限角，所以，因为，且，学科网（北京）股份有限公司 解得或，则.故选：D.13．（2023·河北）若，则（    ）A．B．C．D．1【答案】A【详解】由题意可知，令，则解得（舍），故.故选：A14．（2023·江苏）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，可知，则，故选：B15．（2023·云南）已知，则（    ）A．B．C．D．3【答案】D【详解】因为，所以.故选：D16．（2022春·天津）已知，.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，所以.（2）因为，，所以考点四：诱导公式1．（2023·北京）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由诱导公式得，因为，所以，故选：A．2．（2023·河北）若，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，且，所以，又因为，所以，故选：.3．（2023春·新疆）（    ）A．B．C．D．【答案】A学科网（北京）股份有限公司 【详解】由诱导公式可知，.故选：A4．（2022·北京）（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】.故选：B5．（2022秋·浙江）已知α∈R，则cos（π-α）=（    ）A．sinαB．-sinαC．cosαD．-cosα【答案】D【详解】因为，故选：D.6．（2022·湖南）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：因为，则.故选：D.7．（2022春·广西）若，则（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】.故选：C8．（2021春·福建）等于（）A．-B．C．-D．【答案】B【详解】.故选：B9．（2021秋·广东）已知，则=（    ）学科网（北京）股份有限公司 A．B．-C．D．-【答案】A【详解】解：因为所以故选：A10．（2021秋·广西）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，则.故选：B.11．（2021秋·青海）（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】.故选：A考点五：三角函数的图象和性质（周期）1．（2023春·福建）已知，，则的周期为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】的最小正周期为：.故选：D.2．（2023春·湖南）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】由正弦函数与余弦函数的性质可知，为奇函数，，为偶函数，故A，B错误，的最小正周期为，的最小正周期为，故C错误，D正确，学科网（北京）股份有限公司 故选：D3．（2023·云南）若函数的最小正周期为，则正数的值是A．B．1C．2D．4【答案】C【详解】因为函数的最小正周期为所以故选：C4．（2022秋·福建）函数的最小正周期是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由函数，则最小正周期.故选：B.5．（2022春·贵州）函数的最小正周期是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意，函数根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.故选：C.6．（2021春·福建）函数的最小正周期是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：函数的最小正周期是；故选：B7．（2021秋·河南）函数是（    ）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】D【详解】，.学科网（北京）股份有限公司 设，定义域为，，所以为偶函数.故选：D8．（2023·北京）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值，并写出相应的一个x的值．【答案】(1)；(2)最大值为2，相应的一个x的值为．【详解】（1）因为，所以的最小正周期；（2）因为，当，即时，有最大值1，所以的最大值为2，此时,故相应的一个x的值可取.9．（2023春·新疆）已知函数．(1)求的最小正周期T；(2)求的最小值以及取得最小值时的集合．【答案】(1)(2)；【详解】（1）由得，所以；（2）由（1）知，此时，即，故x的集合为.10．（2022·北京）已知函数．(1)写出的最小正周期；学科网（北京）股份有限公司 (2)求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)1)的最小正周期为：.(2)因为，所以．当，即时，取得最大值．11．（2022秋·浙江）已知函数.(1)求的值；(2)求的最小正周期.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴（2）∵，∴，∴的最小正周期12．（2021·北京）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间[]上的最大值及相应的值.【答案】(1)(2)1，【详解】（1）解：因为，所以函数的最小正周期；（2）解：因为，所以，所以，当且仅当，即时函数取得最大值；13．（2021秋·吉林）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合.学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)(2)的最大值是，此时自变量的集合为.【详解】（1），所以的最小正周期.（2）由（1）得，所以当时，取得最大值，此时自变量的集合为.14．（2021春·浙江）已知函数，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求使取得最大值的x的集合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【详解】（Ⅰ）因为，所以．（Ⅱ）因为，所以，，所以，的最小正周期为．（Ⅲ）因为，所以的最大值为2．当且仅当时，即时，取得最大值，所以使取得最大值的x的集合为．15．（2021秋·浙江）已知函数，.学科网（北京）股份有限公司 （1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1），即.（2），故的最小正周期.（3）因为，所以，当，即时，；当，即时，，故在上的值域为.考点六：图象变换1．（2023·河北）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由可得，将其图象向右平移个单位长度可得.故选：B2．（2023·江苏）要得到函数的图象．只需将函数的图象（   ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位学科网（北京）股份有限公司 C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【详解】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，故选A.3．（2023春·福建）已知，则上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】把上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是.故选：B4．（2023·广东）要获得，只需要将正弦图像（    ）A．向左移动个单位B．向右移动个单位C．向左移动个单位D．向右移动个单位【答案】A【详解】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．故选：A．5．（2022春·天津）为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（    ）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【详解】将图像所有的点向右平移个单位长度，得到图像，即为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度.故选：B6．（2022·山西）将函数的图象向左平移个单位，得到函数学科网（北京）股份有限公司 的图象，那么下列说法正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数为奇函数D．函数的图象关于直线对称【答案】C【详解】由题意得：；对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，不是的对称中心，B错误；对于C，，为奇函数，C正确；对于D，当时，，不是的对称轴，D错误.故选：C.7．（2022秋·浙江）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【详解】函数中的替换为,可得到函数，因此对应的图象向右平移移个单位长度,可以将函数y=cosx的图象变为函数的图象，故选：D8．（2022秋·福建）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C学科网（北京）股份有限公司 【详解】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C9．（2022·湖南）将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，得到的新的解析式为，整理得.故选：D.10．（2022秋·广东）为了得到函数y=cos(x+)的图象，只需把余弦曲线y=cosx的所有的点A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【详解】把余弦曲线上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，故选：A.11．（2022春·贵州）给出下列几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．        ②向左平移个单位长度．③横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．        ④向左平移个单位长度．则由函数的图象得到的图象，可以实施的变换方案是（    ）A．①→②B．①→④C．③→②D．③→④【答案】D【详解】的图象得到的图象，有如下两个方法，第一种：向左平移个单位得到，再横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到学科网（北京）股份有限公司 ，即②→③.第二种，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位长度得到，即③→④.故选：D.12．（2021春·天津）为了得到函数，的图像，只需将正弦曲线上所有的点（    ）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【详解】到，变为，可得图像向左平移了个单位；故选：A.13．（2021春·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到：，故选：D．14．（2021·吉林）已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ）A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变【答案】A【详解】将图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得学科网（北京）股份有限公司 的图象，故选：A.15．（2021春·浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【答案】C【详解】因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．故选：C考点七：三角函数的图象和性质（综合）1．（2023·河北）已知函数（，）的图象如图所示，则的值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】由图可知，所以，所以，则，把代入得，，所以，则，学科网（北京）股份有限公司 又因，所以.故选：A.2．（2023春·新疆）已知函数，则的一个单调递增区间是（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数，由正弦函数的性质知，函数在、上都不单调，在上单调递减，即选项BCD都不是，函数在上单调递增，A是.故选：A3．（多选）（2021·湖北）下列函数中最大值为1的是（   ）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；对于B：函数的值域为，故B正确；对于C：函数的值域为，故C错误；对于D：函数的值域为，故D正确；故选：ABD4．（2022春·广西）关于正弦函数y=sinx（xR)，下列说法正确的是（    ）A．值域为RB．最小正周期为2πC．在(0，π)上递减D．在(π，2π)上递增【答案】B【详解】函数的图象如图所示：如图所示，函数的定义域为，值域为，所以A错误；学科网（北京）股份有限公司 的最小正周期为，所以B正确；在上单调递增，在上单调递减，所C、D错误；故选：B5．（多选）（2023春·浙江）已知且，，则下列说法正确的是（    ）A．一条对称轴方程为B．时值域为C．的图像可由的图像向左平移个单位得到D．的一个对称中心为【答案】AD【详解】因为且，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以一条对称轴方程为，故A正确；当时，，所以，则，故B错误；将的图像向左平移个单位得到，故C错误；因为，所以的一个对称中心为，故D正确；故选：AD6．（2023·山西）已知函数的部分图像如图示，且，学科网（北京）股份有限公司 ．  (1)求函数的解析式；(2)若，求的最大值和最小值．【答案】(1)(2)的最大值为,的最小值为【详解】（1）由图像可知，因为，所以函数图像的一条对称轴为直线，设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即，所以，，即，．因为，所以，所以．（2）,当即的最小值为；当即的最大值为.7．（2023·江苏）已知函数.(1)求函数的最小正周期；学科网（北京）股份有限公司 (2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），最小正周期.（2），即，设，，，当时，即，整理得到，，当且仅当，即时等号成立，故；当时，不等式恒成立；当时，即，整理得到，，当且仅当，即时等号成立，故.综上所述：，即8．（2023春·浙江）已知函数.(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以的最小正周期为；由可得，即的对称轴为；学科网（北京）股份有限公司 （2）因为，所以，又，所以，因此，故.9．（2023春·湖南）已知函数，.(1)写出函数的单调区间；(2)求函数的最大值；(3)求证：方程有唯一实根，且.【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)(3)证明见解析【详解】（1）函数，定义域为，由对数函数的性质可知，在上单调递增，所以单调递增区间为，无单调递减区间；（2）因为，又因为，当时，；（3）令，①当时，，，则当时，，没有零点；②当时，有，则，，，没有零点；③当时，有，由在上单调递增，学科网（北京）股份有限公司 ，，所以存在唯一实数，使得，因为上单调递增，所以，因为，所以，因为，即,所以，因为，所以，所以，令，由在单调递减，得，即，所以，又因为，所以，即，综上所述：方程有唯一实根，且.10．（2022·山西）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．【详解】（Ⅰ）因为，故最小正周期为    （Ⅱ）因为，所以．  学科网（北京）股份有限公司 于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．11．（2022春·辽宁）已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的值域；(3)求满足的x的取值范围．【答案】(1)函数的最小正周期为(2)函数的值域为(3)的取值范围为，【详解】（1）解：函数；故函数的最小正周期为；（2）解：由于，所以，故．即函数的值域为．（3）解：由于，所以，，故，，故的取值范围为，．12．（2022春·浙江）已知函数.(1)求的值；(2)求函数的最小正周期；学科网（北京）股份有限公司 (3)当（）时，恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）；（2），所以函数的最小正周期；（3）当，恒成立，即，所以，因为，，所以，解得，即实数的最大值为；综上，，最小正周期为，实数的最大值为.13．（2021·湖北）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若的最小值为0，求常数的值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由函数，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知函数，因为的最小值为0，可得当时，取得最小值，即，解得.考点八：三角恒等变换1．（2022·北京）（    ）A．B．C．D．【答案】A学科网（北京）股份有限公司 【详解】由二倍角公式可得，.故选：A.2．（2023·江苏）在中，已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，，，解得.故选：D3．（2023春·福建）求2sin15°cos15°的值（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】故选：D.4．（2023·云南）（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】.故选：D5．（2022春·广西）（   ）A．B．C．D．【答案】A【详解】.故选：A6．（2022春·贵州）＝（    ）A．0B．C．D．1【答案】D【详解】.故选：D学科网（北京）股份有限公司 7．（2021春·河北）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.8．（2021·吉林）的值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】；故选：A.9．（2021春·福建）已知，为锐角，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，故选：D10．（2021·北京）sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（    ）A．B．C．D．1【答案】A【详解】原式故选：A11．（2021·北京）函数的最大值为（    ）A．1B．C．2D．【答案】D【详解】∵，学科网（北京）股份有限公司 ∴函数的最大值是.故选：D.12．（2023·山西）已知，则．【答案】【详解】因为，所以，故答案为：13．（2022·山西）已知，且，则.【答案】/【详解】.故答案为：.14．（2021·北京）计算.【答案】/【详解】故答案为：15．（2021秋·吉林）已知，则的值为.【答案】【详解】由于，所以，故答案为：16．（2021秋·河南）的值为.【答案】【详解】．故答案为：．学科网（北京）股份有限公司