数系扩充复数

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1、第四章数系的扩充——复数●知识网络●范题精讲【例1】实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、b∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解:z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i.∵m∈R,∴z的实部为m2+5m+

2、6,虚部为m2－2m－15.①要使z为实数，必有∴m=5或m=－3.②要使z为虚数，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3.③要使z为纯虚数，必有即∴m=－2.④要使z对应的点在第三象限，必有∴－3

3、最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a、b∈R)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.【例2】已知复数z1满足(z1－2)i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实部和虚部.解:由(z

4、1－2)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(－i)+2=3－i.∵z2的虚部为2，∴可设z2=a+2i(a∈R),z1·z2=(3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i为实数，∴6－a=0,即a=6.因此z2=6+2i.评注:掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.【例3】复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,

5、所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(b∈R),然后再求所对应的点的集合.解:如下图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).因此.设=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i.根据复数相等的条件,有消去b,有x2+y2====x.所以x2+y2=x(x≠0),即(x－)2+y2=(x≠0).所以所对应的点的集合是以(,0)为圆心,为半径的圆,但不包括原点O(0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y

6、).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.●试题详解高中同步测控优化训练(九)第四章数系的扩充——复数(A卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ

7、卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下面四个命题中正确的命题个数是①0比－i大②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应A.0B.1C.2D.3分析:本题考查复数的基本概念.解:①复数集内不全是实数的数不能比较大小;②2+3=5∈R,但2，3不是共轭复数;③只有当x、y∈R时，才有

8、x=y=1;④若a=0,则0i=0不再是纯虚数.答案:A2.已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数的虚部为A.1B.－1C.iD.－i分析:本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后求解.同时注意复数的虚部是i的系数.解：=i.答案:C3.(1－i)2·i等于A.2－2iB.2+2iC.－2D.2