数系的扩充讲义

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1、数系的扩充数系的扩充从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.自然数自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.负数负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集分数（有理数）分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集

2、扩充到有理数集11边长为1的正方形的对角线长度为多少？？无理数毕达哥拉斯(约公元前560——480年）无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.数集扩充到实数集实数集能否继续扩充呢?正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.请解下面方程在实数范围内有解吗？历史回顾1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445--150

3、0）在其《算数三篇》中，解方程式得根：他声明这个根是不可能的.历史回顾意大利波洛尼亚大学数学教授卡尔丹在这个问题上作出了重要贡献.卡尔丹(Cardano,1501--1576)历史回顾1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”能作为“数”吗？它表示什么意义呢？虚数虚数是“算”出来的.1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”（“想象中(imaginary)的数”）.笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)虚数1

4、777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示称为虚数单位.欧拉(L.Euler,1707~1783)数集再次扩充数系扩充的科学道理从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。自然数集中，？运算中可以实施；整数集中，？运算中可以实施；有理数集中，？运算中可以实施；实数集中，？运算中可以实施.数系扩充的科学道理自然数中减法产生，整数系统；整数中除法产生，有理数系统；自然数中开方产生，实数系统；负数中开方产生，新的系统.负数分数无理数虚数数系扩充的科学道理逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的

5、角色；逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展.数系的每一次扩充，基本都是运算的需要数集扩充到复数集在复数范围内解下面方程小结1.了解：数的发展经历理解：下列字母：Q、R、C、Z、N分别表示什么数集，用符号表示它们的包含关系.从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.引入一个新数i,叫做虚数单位，并规定：2.对虚数单位i的规定(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运

6、算时，原有的加、乘法运算律仍然成立。(1)i2=－1；在上述种规定下,我们把形如a+bi（其中a、bR）的数称为复数，通常用字母z表示.a+bi（a、bR）也称为复数的代数形式.其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.全体复数组成的集合叫做复数集,记为C.3.复数及相关概念4.复数分类复数z=a+bi(a,b∈R)注意：a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.必要但不充分5.记识-1的平方根为，-a(a>0)的平方根为.i6.两个复数相等的充要条件设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、

7、c、dR)，则z1=z2即:两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小实数无理数分数自然数（包括0）有理数负整数整数复数虚数(自然数集N)(整数集Z)(有理数集Q)(实数集R)(复数集C)