高二数学 4.3数系的扩充(备课资料)

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1、从数学本质解读数学课程改革从整个数学教育发展的历史来看,无论是古希腊的数学教育,还是当今的数学课程改革,对数学的本质的理解和认识,直接影响和制约着数学课程与教学的进展.近年来,倍受关注的“新数运动”“大众数学”“问题解决”等数学教育改革口号的提出，以及目前我国正在进行的数学课程改革，都与人们对数学本质的认识密切相关.随着数学课程改革的理论与实践的不断深入发展,从数学本真特质出发,以是否利于有效地促进每位学生的发展为价值尺度,从深层次上对数学课程改革中的有关理论问题探讨和研究,具有极其重要的现实意义.1.数学的本质

2、特征对于事物的本质,人们通常会认为是最需要弄清的事实,也是最基本的.但是,最基本的也是最不易澄清的.对于数学本质的理解更是如此.数学家、数学哲学家对数学本质的认识一直没有一个统一的结论.这也就体现在课程改革中,数学历来是各界人士,其中包括数学(教育)界内部争议最大的一门学科,究其根由,一方面是数学重要,引起社会各界人士的关注,另一方面是各行各业都需要但又对数学需求的层次不尽相同,而更核心的问题则是人们对数学的理解和认识上的差异.对数学本质的认识不外乎是数学中的经验主义与理性主义传统之争.虽然至今对数学是经验性或演绎

3、性没能形成一个统一的认识.近年来,各种纷争虽看法不一［1］,或是各自发展了自己的观点,或是形成了一些折中的观点,让人们逐渐澄清了许多对数学的模糊认识,从多角度、多层面加深了对数学本质多元性的理解和认识.对数学本质的研究在一定程度上也促进了数学的发展.由古希腊时代发展起来的数学传统,充分肯定了演绎的真理性.从一组不加证明的基本命题和不加定义的概念出发,运用逻辑运算的规则形成了一个演绎体系.这种演绎法进一步发展成为数学中一种一般化的方法——公理化方法,不仅使数学成为人类直接应用逻辑的力量探索现实世界独一无二的科学,同时也

4、使得数学从此开始成为一个严密的、抽象性形式体系.由于数学中各个分支中演绎法的重要性日渐突出,特别是公理化方法的发展,原先从现实空间中抽象出点、线、面作为不加定义的原始概念,和一些具有直观意义的基本关系作为公理的方法,发展到形式公理阶段的原始概念不需要具有任何直观意义,可以代表任何东西.公理只要满足系统的无矛盾性就可以了,为了使得公理体系简洁,只要作为公理的命题不能相互推出,独立性、完备性即可.这样数学经过一次次的抽象后,无论是数学研究的对象,还是数学研究的目的,都已远离了现实.在一些人看来,数学已与现实世界无关,已由

5、具有现实原型的具体公理系统进入了脱离现实原型的抽象的形式系统的研究,数学已经突破日常概念中的“数量”和“关系”，研究的对象只有一种逻辑上的可能，脱离感性直观，只有经过解释才能在现实中找到模型，表明其现实性.数学似乎完全成为理性的创造物,抽象性、严谨性和形式性在一定时期成了数学区别于其他科学的根本标志.集合论的创始人康托为此欢呼:“数学的本质在于自由.”在许多人的思想观念中,数学只是用纸和笔所做的符号游戏.数学(教育)界一直流传着阿基米德专心于沙地上的几何图形而不顾生命之危的动人故事.这给人们的印象是:“数学研究只需要

6、用极少数的工具,或许只要一堆沙子,再加上一个非凡的头脑.”长期以来,人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题,数学活动只是高度的抽象思维活动.有些数学家甚至认为,一个孤独的人借助卓越的柏拉图式的智力资源,在黑层子里也能搞数学.［2］确实,数学与物理、化学、生物等自然科学有着很大的差别.数学不需要大量的实验设备,所需要的主要是“思想实验”.但是绝不能说数学研究完全是在头脑里进行的.数学既不像有些数学家所认为的是同经验无关的纯逻辑体系，也不完全是经验的总结.康德认为，一切科学知识都是从经验开始的，“凡吾人之一切知识

7、，皆以经验始”，但同时又说，“严格称为命题，常为先天性的判断而非经验的：盖因其具有不能自经验得来之必然性”.他认为数学命题是由先天的经验和先天的形式结合而成的，是一种“先天综合判断的光辉之例证”.［3］事实上,数学的经验性也是数学的一个很重要的来源,特别是计算机的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式,给数学家的工作带来了最先进的工具.著名数学家和数学教育家波利亚曾精辟地指出:“数学有两个侧面,一方面它是欧几里德式的严谨科学,从这个方面看,数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学,看起来却像是一门试

8、验性的归纳科学.”［4］从数学发展的历史进程来看,数学一直沿着纯数学和应用数学两个方向发展.一方面,数学是一种抽象性、严谨性的逻辑体系,是一个符号化的形式系统.数学的起源和发展并不是为了实际运用,往往只是一些数学家的个人爱好,美的追求,仅仅是为了数学本身而研究数学;另一方面,又有的数学家认为数学是来源于经验,是应用最为广泛的科学,