2021版高三数学解题万能解题模板28 应用基本不等式求最值的求解策略【解析版】.docx

《2021版高三数学解题万能解题模板28 应用基本不等式求最值的求解策略【解析版】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题28应用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。方法一凑项法万能模板内容使用场景某一类函数的最值问题解题模板第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.例1已知，求函数的最大值。【答

2、案】.【解析】第一步，根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，所以，第二步，使用基本不等式对其进行求解即可：28/28所以，当且仅当，即时，上式等号成立，第三步，得出结论：故当时，。点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。【变式演练1】【河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（文科）第三次质检】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则的周长的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由正弦定理得，则有，利用

3、基本不等式求出的最大值，即可得的周长的最大值.【详解】，由正弦定理得，所以，28/28又，得，当且仅当时等号成立，所以的周长的最大值是.故选：A【变式演练2】【北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）】已知，则的最小值为_____．【答案】5【分析】由，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式演练3】【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟】若函数的最大值为，正数，满足，则的最小值为______.【答案】9【分析】先化，得出其最大值，推出，再与所求式子相乘，展开后利用基本不等式，即可求出最值.【详解】2

4、8/28因为，所以其最大值，即，又，为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.方法二分离法万能模板内容使用场景某一类函数的最值问题解题模板第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.例2求的值域。【答案】详见解析.【解析】第一步，首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式：28/28因为，第二步，把分母或分子的一

5、次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式：所以，第三步，将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果：所以当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。【变式演练4】【陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测】已知函数是偶函数，则函数的最大值为（）A．1B．2C．D．3【答案】

6、C【分析】由偶函数的定义化简可求得，则，借助基本不等式和余弦函数性质即可得解.28/28【详解】因为函数是偶函数，所以，即，化简可得：，解得：，即.又因为，，所以（当且仅当时两个“”同时成立）.故选：C.方法三函数法万能模板内容使用场景在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；第三步结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；第四步得出结论.例3求函数的值域。【答案】详见解析.【解析】第一步，运用凑项或换元法将所给

7、的函数化简为满足基本不等式的形式：28/28令，则，第二步，运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可：因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性，第三步，结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可：因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，第四步得出结论.故，所以函数的值域为。【变式演练5】下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（）C．D．