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1、最值问题的基本解题策略之——活用“垂线段最短”宁波东海实验学校赵绍君众所周知，直线外i点与讥线上各点连接的所有线段屮，垂线段最短。本节课就意在说明它在解题中的使用方法。教学过程1.直接使用【引例1】如图，0的半径04=5cm,弦4B=8cm,点P为弦AB1.一动点，则点P到圆心0的最短距离是cm.（2008年济南市）（第1题图）【热身】如图，点A的坐标为（一1,0）,点3在直线_y=xJ：运动，当线段AB最矩时，点B的坐标为（）（2009年山东省德州市）（A）（0,0）（B）（―,）（C）一丄）（D）,
2、-—）222222点评：涉及点到直线的最短距离，一般要用到“垂线段最短”这一性质。说明：在点与线确定的时候，我们可以通过作垂线段的力法确定点到宜线最近的点。【例1】（2008年甘肃兰州市）如图，在厶ABC中，Afi=10,AC=8,BC=6,经过点CH.与边相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是点评：本题把EF的值转化为OC+OT的值，由此知只有当T、O、C三点在同一直线上时，EF的长度最小【例2】2009年陕西省屮考题如图，在锐角△ABC中，AB=4近,ZBAC=45°,A
3、BAC的平分线交3C于点D,M、N分别是4D和AB±的动点，则ACNBBM+MN的最小值是・点评本题冇一定的难度，需要运用两个重要知识点：①当三点共线时，两条线段和授小；②点到直线上各点的距离，垂线段最矩。1.引申及应用—•定点到过另一定点的所有直线的距离中，最大等于两定点的距离。【引例2】如图，闘0的半径OA=5cm,点P为阴I0内一点，0P=3,过点P作弦AB.则弦AB的最短距离是cm.【例3】如图，在直角梯形ABCD屮，ZA为直角，AB〃CD,AB=7,CD=5,AD=2.一条动氏线1交AB于点P
4、,交CD于点Q,将梯形ABCD分为面积相等的两部分。则点A到动直线1的距离的最大值为【例4】设AABC是边长为1的正三角形，过顶点A引直线1,顶点B、C到直线1的距离记为di>d2,求d
5、+d2的最大值。【综合创新】如图，在平面直介坐标系中，开口向上的抛物线与兀轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，0为坐标原点.若04、OB(Q4vO〃)的长分别是方程兀2_4兀+3=0的两根，且ZDAB=45°.(1)求抛物线对丿应的二次函数解析式；(2)过点人作AC丄AD交抛物线于点C,求点C的坐标；(3)在(2)的条
6、件下，过点人任作肓线/交线段CD于点P,求C、D到直线/的距离分别为d]、d2,试求d]+d?的最人值.解：(1)解方程x2-4x+3=0得x==3,而OAv0B,则点4的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).1分过点D作DD、丄x轴于°,则D,为AB的屮点.・•・卩的坐标为(1,0)・乂因为ZDAB=45°,・•・AD}=DD、=2.・・・£＞的坐标为(1,一2).2分令抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-l)2-2.•・•抛物线过点4(—1,0),则0=4a—2,得a=丄.21。1o3故抛
7、物线对应的二次函数解析式为y=-(x-l)2-2.(或写成)u—X一兀一二)4分(2)・・・C4丄AD,ZDAC=90°.5分又•・・ZDAB=45°,・・・ACAD,=45°.令点C的坐标为O，“),则冇/??+1=n.6分・・•点C在抛物线上，・"=丄(加一1)2—2.7分2化简得m2—4m-5=0.解得m=5,m=—1(舍去).故点C的坐标为(5,6).8分(3)由(2)知AC=6迈,而4£)=2血,・•・DC=V/4D2+AC2二4^5.9分过A作AM丄CD--ACxAD=丄DCxAM,22…
8、246亦/・•・AM=—=—^―1("4亦5S'APD11分24~AP24aa7=24><刍=4后6V5—APxd、+—APxd°.即此时％+〃2的最人值为4点13分小结：这节课你学到了什么？教师指出：总所周知，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。引申：一定点到过另一定点的所有直线的距离中，最大等于两定点的距离。布置作业：课后练习：1、矩形ABCD中，AB=20cm,BC=10cm。若在AC、AB上各収一点M、N（如图9）,使BM+MN的值最小，求这个最小值。图92、如图10,正方形AB
9、CD的边长为1,点P为边BC±任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为点2、C'、D'。求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值.图10★★6、如图11,在直角梯形ABCD中，ZA为直角，AB〃CD,AB=7,CD=5,AD=2.一条动直线1交AB于点P,交CD于点Q,且将梯形ABCD分为而积相等的两部分。则点A到动点线1的距离的最人值为3、如图12,在平面直角坐标系中,己知△043是等腰三角形（OB为
