求双层复合最值的解题策略

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1、10中等数学命题与解题求双层复合最值的解题策略孔祥新(浙江省绍兴市第一中学,312000)　　近年来,在数学竞赛中有关双层复合最评述:主要利用A2≤y22·x,然后用值问题出现较多,而有些学生对此问题常感x+y到束手无策.本文的几种解题策略意在抛砖y放缩法化22·x为常数.x+y引玉.【策略二】记A=max{a,b}.则【策略一】记A=min{a,b}.则a+bA≤ab.A≥.2y例1设x、y∈R+,A=minx,22.例2　设x、y∈R,M=max{

2、x+y

3、,x+y

4、x-y

5、,

6、1-x

7、,

8、1-y

9、}.试求M的最小试求Amax.值.解

10、:分两种情况讨论.解:(1)若xy≥0,则yy(1)若x≥22,则A=22.于是,x+yx+y

11、x-y

12、≤

13、x

14、+

15、y

16、=

17、x+y

18、.22yy于是,A=22≤22·xx+yx+yM=max{

19、x+y

20、,

21、x-y

22、,

23、1-x

24、,

25、1-y

26、}=xy≤xy=1.=max{

27、x+y

28、,

29、1-x

30、,

31、1-y

32、}.22x+y2xy2由于M是

33、x+y

34、、

35、1-x

36、、

37、1-y

38、中的2故A≤.最大值,故M不小于它们的算术平均值,即21M≥(

39、x+y

40、+

41、1-x

42、+

43、1-y

44、)223当且仅当x=y=时,A=.22≥12y

45、(x+y)+(1-x)+(1-y)

46、

47、=.(2)若x≤22,则A=x.于是,33x+y1222xyxy1又当x=y=3时,M=3.A=x≤22≤=.x+y2xy2(2)若xy<0,则max{

48、1-x

49、,

50、1-y

51、}>1.2故A≤.于是,2M=max{

52、x+y

53、,

54、x-y

55、,

56、1-x

57、,

58、1-y

59、}22当且仅当x=y=时,A=.222≥max{

60、1-x

61、,

62、1-y

63、}>1>.32由(1)、(2)得,Amax=.22因此,由(1)、(2)可知Mmin=.3　　收稿日期:2006-05-22评述:主要利用2006年第11期112121M≥(

64、x+y

65、+

66、1-x

67、+

68、1-y

69、),y(

70、x)=cosx-cos3x362然后利用绝对值不等式化cosx22=(9-4cosx)36

71、x+y

72、+

73、1-x

74、+

75、1-y

76、为常数.=1(8cos2x)(9-4cos2x)(9-4cos2x)36×8例3　设xi≥0(i=1,2,⋯,7),且满足3≤1×183=,x1+x2+⋯+x7=a(定值),记36×834A=max{x1+x2+x3,x2+x3+x4,⋯,x5+x6+x7}.π3即maxy(x)=y=.试求Amin.62解:注意到3所以,minmaxy(x)=.α、βx2A=max{x1+x2+x3,x2+x3+x4,⋯,x5+x6

77、+x7}评述:首先视α和β为常数,求出y(x)≥max{x1+x2+x3,x4+x5+x6,x5+x6+x7}.的最大值,再视α和β为变量,求出这些最大因为xi≥0(i=1,2,⋯,7),所以,值中的最小值.x5+x6+x7≥x7.【策略三】记A=min{a,b,c},则A≤a,故A≥max{x1+x2+x3,x4+x5+x6,x7}A≤b,A≤c.消去变量a、b、c,解关于A的≥1(x)不等式.1+x2+x3+x4+x5+x6+x7311123a例5maxmin,2,3,a+b+c=.a、b、c∈R+abc3=.a又当x1=x4=x7=

78、,x2=x3=x5=x6(2006,全国高中数学联赛浙江省预赛)3a11123=0时,A=.解:设t=mina,b2,c3,a+b+c.则3a111因此,Amin=.0

79、cosx+αcos2x+βcos3x

80、t的最大值中关于一切α和β的最小值.233所以,t≤a+b+c≤.t(第49届莫斯科数学奥林匹克)解:对一切α和β,都有于是,可得t≤3,且当a=b2=c3=33π5πmaxy(x)≥maxy,y66时,t=3.故3α3αmaxmin1,

81、1,1,a+b2+c3=3.=max+,-+232222a、b、c∈R+abc11≥13α+-3α评述:关键是0a2>⋯>an.

82、记注意到恒等式2

83、M=min(ai-aj).xk

84、=

85、x1-(x1+x2)+⋯+1≤i

86、,②ai-ai+1≥M(i=1,2,⋯,n-1).当i