求最值的9种策略

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1、解析几何中涉及最值问题常有求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题。这些问题的处理有九种解题策略。一．代数策略解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的关系。是一门用代数方法研究几何问题及用几何意义直观反映代数关系的学科。因此在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件具有明确的互动函数关系时，不妨可考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决。1．二次函数法利用二次函数求最值要注意自变量的取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。例1．若椭圆上点P

2、到定点A（a，0）（0＜a＜3）的距离最短是1，则实数a的值是                。  分析：设椭圆上一点P（3cosθ，2sinθ），   ①当时，因为，所以当时，有f（θ）=，得。②当时，因为，分析：设L的方程为（a＜0，有，得，所以  ，即，由方程有实数根得 ，即或 ，从而得a=–4，b=-6    2．单调性若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。例2．已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C相外切，圆D与y轴交于A、B点，点P为（–3，0），当点D在y轴上移动时，求∠APB的最大值。y 分

3、析：设D（0，b），圆D半经，则，。依两圆外切有， 所以，又 ，因此，由  ，因此。3．判别式利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。例3．过P（-2，-3）的直线L与x轴、y轴的负半轴交于A、B点，求使△AOB面积最小时的L方程。分析：设L的方程为（a＜0，有，得，所以  ，即，由方程有实数根得 ，即或 ，从而得a=–4，b=-64．均值不等式用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三相等”缺一不可。例4．过P（-2，-3）的直线L与x轴、y轴的负半轴交于A、B点，求使△AOB面积最小时的L方程。   分析

4、：设L方程y+3=k（x+2）（k＜0），所以  ，当且仅当 时，即，或，得3x+2y+12=0。二．三角策略圆、椭圆、双曲线的参数方程，为我们将某些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的有界性来研究提供了可能性。利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是难点。例5．已知x、y满足则 的最小值是              分析：设x=2+2cosθ，y=1+sinθ，令，则，所以  ，得三．几何策略若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义来处理最值问题。1．赋予特定的几何意义有些最值问题具有相应的几何意义，如求

5、分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式， 由联想两直线平行或重合等。若能恰当地利用其几何意义，便有助于最值问题的解决。例6．已知x、y满足则 的最小值是分析：求最小值，即求的最大值。 而看作两点A（x，y）与    B（-1，0）的斜率。故等价于在椭圆上找一个点A，使它与B连线斜率最大。｛  设AB方程为y=k（x+1）  由方程组                          得 由，得k=0（舍）或k=，所以 最小值为。2．利用定义   圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点距离和或差的不变性；或者动点到定点、定直线距离比的不变性。利用这种不变关系将动态与静态结

6、合，就可很快地解决最值问题。   例7．已知定点P（–2，），点F是椭圆的左焦点，在椭圆上找一个点，使 最小。分析：由得 ，因此要求的最小值，只要三点A、、P共线，得。3．线性规划 当实数对x、y所应的点在一个区域或一条线段上时，求最值题可以从线性规划的角度去处理。如若x、y满足，则–2x+y的最大值是     （略解）例8．若x、y满足不等式则3x–4y的最大值是  分析：令Z=3x–4y，则，作一族与平行的平行线，注    意到当直线与椭圆相切时，直线在y轴上的3x–4y–Z=0 截距有最值，即Z有最值。  由                   得  ，依△=0得，。4．利

7、用平面几何知识解析几何与平面几何是密切相关的，灵活运用平面几何知识亦会使一些最值问题易于解决。例9．已知定点A（4，–1）、B（3，4），又点P在直线L：上，当取最小值时，点P坐标是；当取得最大值时，点P的坐标是    分析：当点A、B在L同側时，距离之差有最大值；在L异側时，x 距离之和有最小值。 ｛ 本题中点A、B在L的异側，易得最小时，点；作A（4，–1）关于L对称点A/（0，1），连A/B交L于P1，因此当最大时，点P1（5，6）。    解决一个最值问题，以上各种方法不