求最值常规处理策略

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1、求最值的常规处理策略在高三数学试题中求最值问题很常见，但许多学生，甚至老师对此感到心里没底，有时觉得无从下手.有些人学过导数后，一遇到求最值的问题就想用导数，但许多时候求导数并不管用．为使大家遇到求最值问题时能从容应对，特把这类问题的常用对策（除求导之外）整理一下，提供给大家参考．一、利用基本不等式求最值遇到求最值问题首先应该考虑是否可以利用基本不等式来处理，而要用基本不等式求最值，最关键的是要将需求最值的关系式构造出符合基本不等式模型的结构，而要顺利地完成构造其关键是对基本不等式的结构特征及有关条件及所涉问题中给出的相关关系式的特点有全面、深刻

2、的认识．最常用的基本不等式：设、，则（当且仅当时“=”成立）若正实数、满足（A为定值），则当且仅当时达到最小值；若正实数、满足（B为定值），则当且仅当时达到最大值．上述最常用的基本不等式有一种最常用的形式：若、为正常数，，则（当且仅当时“=”成立）．其关键特征是：左边两项均为正，且乘积为定值．如“设，则的最小值为”，对此只要把14重新构造一下，使得，则由于，则，则由上述基本不等式直接可得的最小值为2，相应的的值为4．利用基本不等式求最值的关键是“构造”，所谓“构造”就是针对基本不等式结构特征，将题中已知的关系式进行适当的变形，使其符合基本不等式的

3、结构要求及其他条件．利用基本不等式求最值的难点也是“构造”，所以要使大家能顺利地利用基本不等式求最值，首先要帮助大家解决如何构造的问题．一般来说：对于求“和”的最小值的问题我们必须去构造“乘积”为定值；求“乘积”的最大值的问题我们必须去构造“和”为定值．如：例、设、，且，则的最小值为．分析：这就是一个求和的最小值的问题，所以我们必须去构造乘积为定值．因为其实就是则且，而=，所以的最小值为2+2．例、若、、，且，则的最大值为．分析：因为其实就是一个乘积，要求此乘积的最大值，所以要去构造和为定值，而显然就是，由基本不等式易知当且仅当时的最大值为9．上

4、述两例充分体现了“适当的构造”对利用基本不等式求最值的重要性．要能成功地构造出所需结构除了熟悉基本不等式结构特征之外，还需对题中所给关系式进行仔细观察、认真研究和深入挖掘，发现其特点，才能充分利用其特点进行构造。除了上述直接构造之外，还有几类常见题型的构造值得大家关注：141、有关“整式和”与“倒数和”的最值问题例、已知、，且，则的最小值为．题中是“整式和”，题中是“倒数和”，象这种问题称之为有关“整式和”与“倒数和”的最值问题．这类问题的构造方式很多，在此仅介绍一种最简洁、也是最具通用性的方法“相乘法”．，而，故，从而易知的最小值为．例、已知、

5、，且，则的最小值为．分析：这个问题也是典型的有关“整式和”与“倒数和”的最值问题，所以我们也可采用“相乘法”来处理：，由于，则易知的最小值为．说明：（1）、“相乘法”的优点就是不用费神去考虑把哪个数“换掉”，直接一乘就可构造出符合基本不等式结构特点的关系式；（2）、上述两例中的“整式和”与“倒数和”具备“”与“”（为非零常数）这种模式，象这种“整式和”与“倒数和”称为是匹配的“整式和”与“倒数和”．有些问题虽也具备“整式和”与“倒数和”，但不匹配，而是需要进行适当变形后才能匹配．如：14例、设、，且，则的最小值为．分析：题中具备“整式和”与“倒数

6、和”，但显然不匹配，故应重新构造，由于，而“整式和”与“倒数和”相匹配，故=4+，从而有．即的最小值为．例、已知、，且，则的最小值为．分析：这个问题中具备“倒数和”，但无与之相匹配的“整式和”，所以争取从关系式构造成相匹配的“整式和”？由于，显然与是相匹配的“整式和”与“倒数和”，则原问题便转化为一个典型的“整式和”与“倒数和”的最值问题了，由“相乘法”易得的最小值．例、设、（0，1），且，则的最小值为．分析：这个问题中具备“倒数和”，但缺少与之相匹配的“整式和”，所以须从中获取“整式和”．由于、（0，1），且，则，当且仅当时“=”成立，从而有，

7、从而与是相匹配的“整式和”与“倒数和”了，则，当且仅当时“=”成立，即当且仅当时，达到最小，且最小值为4．14例、设正实数满足，则的最小值为．分析：这个问题中已具备了“整式和”，所以应该去构造出“倒数和”，而，显然有“倒数和”，而变成便是与之相匹配的“整式和”，从而易得的最小值．说明：如果题中有相匹配的“整式和”与“倒数和”，则直接相乘即可；若仅有“整式和”（或“倒数和”），则可尝试去寻找“倒数和”（或“整式和”），若获得的“倒数和”（或“整式和”）不相匹配，则还须进行调整，使它们成为相匹配的“整式和”与“倒数和”．2、对于形如不同时为0）的最值

8、问题（1）如果时，则一般可将分母（一次式）换元，使分母变成单项式，然后易达到基本不等式的结构要求．例、设，则函数的最小值为．分析：对于，