应用基本不等式求最值的求解策略-高考数学解题模板

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1、【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】方法一凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其趾凑（凑项、凑系数等）成符合其条一件；第二步.使用基本不等式对其进行求解即可;第三步得出结论.例1已知兀V丄,4求函数y=4x2+1的最大值。

2、4x-5【变式演练1】当0<4时，求y=x（8-2x）的最大值。【变式演练2】求函数），=兀+沿［严>1）的最小值。方法二分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.X2+7x4-10例Z求『=兀十心壮兀＞一1）的值域。x+1【变式演练3】求函数y=（x+4）S+9）的最值。方法三函数法使用情景：在应用最值

3、定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号収不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；第三步结合函数/（x）=x+-的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；X笫四步得出结论.兀2+5例3求函数y=的值域。【变式演练4】下列函数中，最小值为4的是()B.y=sinx+(0

4、(/77-2)x2+(/?-8)x+l(/n>0,n>0)在区间2上单调递减，

5、则mn的最大值为()Q1(A)16•(B)18(C)25(D)—22.【2015高考湖南，文7】若实数满足—-^—=4ab,则"的最小值为()abA>V2B、2C、2V2D、43.[2015高考福建，文5】若直线兰+丄=1(。>0">0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()abA.2B・3C.4D.54.«[2015高考重庆，文14】设a,b>0,a+b=5,则Ja+l+Jb+3的最大值为.5.【2015高考天津，文12】已知d>0,b>0,ab=&则当a的值为吋log2tzlog2(2/?)取得最大值.6.[2015高考陕西，理9】设f(x)=lnx,0

6、4ab),q=,r=—(/(«)+/(/?)),则下列关系式中正确的是()A.q-rpC.p-rq【反馈练习】1.[2016河南中原名校一联】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量■•—♦m=(cosA.cosB),n=(a92c-b),且mHn.（1）求角A的大小；（2）若d=4,求MBCifij-积的最大值.1.【2017届山西右玉一中高三上期中数学（理）试卷，理5】当兀>1时，不等式兀+丄ha恒成立，则X-1实数d的取值范闱是（）A.（—oo,2]B.[2,4-oo）C.[3,+g）D.（-8,3]2.[2017届宁夏石嘴

7、山三中高三10月月考数学试卷，文9]直线2ax^by-2=0（a>0,b>0）平分圆°°21x2+y2-2x-4y-6=0,则-的最小值是（）ahA.2-B.V2—1C.3+2^2D.3—2^/^3.[2016-2017学年河北馆陶县一中高二上期中数学试卷，理6】已知点P（x,y）在直线x+2y=1上运动,则2X+4V的最小值是（）A.V2B.2C.2迈D.4血4.[2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，理10】若实数x,y满足xy>0,则」一+』一兀+yx+2y的最大值为（）A.2-a/2B..2+5/2C.4+2>/2D.4-2^/25.【2016-2017学

8、年河南郑州一中高二上期中考试试卷，文10]设尤€°,对于使V成立的所12有常数M中，我们把M的最大值—1叫做的下确界.若为正实数，且。+方=1,则一+—的2ab下确界为（）5A-4B.9_2C.9116.[2016-2017学年河南郑州一屮网校髙二上期屮联考文数试卷，文11】设6/>5>0,/+一+——-aba[a-b）贝的最小值是（）A.1B.2C.3D.41.[2016-2017年河南西平县高级中学高二十月月考数学试卷，文9】已知兀+歹=厂，且x>0,y>0,则兀+y的取值范