2018年高考数学 专题27 应用基本不等式求最值的求解策略黄金解题模板

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1、专题27应用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】方法一凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成

2、符合其条件；第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.例1已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】【变式演练1】已知，求函数的最大值。【答案】.【解析】试题分析：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对15要进行拆、凑项，，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。【变式演练2】求函数的最小值。【答案】8.方法二分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步首

3、先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.例2求的值域。【答案】详见解析.【解析】试题分析：当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。15【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分

4、母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。【变式演练3】求函数的最值。【答案】详见解析.方法三函数法使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；第三步结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；第四步得出结论.例3求函数的值域。【答案】详见解析.15【变式演

5、练4】下列函数中，最小值为4的是（）A．B．（）C．D．【答案】C【解析】试题分析：，当且仅当时等号成立，故选C.考点：基本不等式．【高考再现】1.【2017山东理，7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】试题分析：因为，且，所以，所以选B.15【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较

6、多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.2.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.3.【2015高考湖南，文7】若实

7、数满足，则的最小值为()A、B、2C、2D、4【答案】C【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】15基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．4.【2015高考福建，文5】若直线过点，则的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【

8、答案】C【考点定位】基本不等式．【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．5.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是.【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式