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《2018年高考数学专题27应用基本不等式求最值的求解策略黄金解题模板》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题27应用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】方法一凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.———*-*（I
2、2b例1已知点A在线段BC上（不含端点），0是直线BC外一点，且OA-2oOB-bOC=（）,则亠一+上q+2b1+b的最小值是【答案】2V2-2【解析】由页一2aOB-bOC=0^,OA=2aOB^bOC,根抿A、B、C三点共线可得2。+5=1,且。皿>0,所以a2ba+a+7b2^+2d+2i2@+b）a+2b氏chi、i曰［居斗—=-1+—~T='J+——-2>2V2-2,所以最小值为a+2b1+ba+2b加+b+bo+2i>a+b2^2-2,故填2庞-2-【点评】本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式
3、，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本題根据条件构造研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式・【变式演练1】已知兀V?,求函数尸4兀-2+—^的最大值。44x-5【答案】Jmax=1•【解析】试题分析：因4x-5<0,所以首先要“调整”符号，又（4x-2）r—!—不是常数，所以对4X-2要进行拆、4尢一5气1/1、凑项，vx<-,.5-4x>（），•••y=4兀一2+=-5一4兀++35—2+3=1,当.R仅当44兀-5（5-4x>5-4兀=—,即x=l时，上式等号成立，故当兀=1时，儿亦=1。5-4xmdX点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项
4、的系数，使其积为定值。【变式演练2】求函数L+乔产>1）的最小值。【答案】8.【解析】11x-1x-11试题分析：—（X>l）=（JC-l）+—+1（X>1）=-+-+—+1（X>1）—!-^+1>^+1=5当且仅当^=—L^（x>v）即*2时，=号成立，故此函AX-1）2222（jc-l）数最小值是1。方法二分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并
5、运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.X2+7x4-10例2求）=—（%>-1）的值域。X+1当X>-1,即X+1>0时，y>2J（兀+l）X4x+1+5=9（当且仅当无=1时取“=”号）。【答案】详见解析.【解析】2+（小）2+5（］）+〜+4试题分析：X+1x+1x+1【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为Ay=m^x)+——+B(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(Q【变式演练3】求
6、函数y=(x+4)(工+9)的最值。x【答案】详见解析.【解析】试题分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零,因而导致错误。因为函数y=⑺+电｝(2+9)的定义域为(y,0)(^0,+8),所以必须对x的正负加以分类讨论。试题解析：1)当兀〉0时,y=134-x+—>13+2Jx-—=25XX当且仅当X=—即兀=6时取等号。所以当x=6时，儿8=25X2)当x<0时，—x>0,——>0(—无)+(——)=12y=13-[(-x)+(-—)]<13-12=1X当且仅当一兀=,即x=-6时取等号，所以当兀时，■儿卫=13—12=1.X
7、方法三函数法使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式;第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；第三步结合函数/(兀)二兀+纟的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可;第四步得出结论.例3求函数尸「+5的值域。厶2+4【答案】详见解析.【解析】试题分析：令J/+4=g2),贝口分+5y/x2+4+启十如2)因/>Oa/-=l,
