《解决多元条件最值问题的基本策略》案例.doc

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1、《解决多元条件最值问题的基本策略》案例湖州一中陆剑钢一、教学目标1、通过“●自主练习与策略归纳”中两个简单问题的自主解答、归纳方法，进一步体会代数和几何两大思想的相互渗透在解决多元条件最值问题中的重要作用，培养多角度分析问题的意识.2、在“●思想细分与基本策略研究”环节中，通过交流合作、教师点拨逐步学习函数、方程、基本不等式等解决该问题的基本策略，掌握在题设特征动态变化中各基本策略的优劣与联系.3、在“●自我诊断”环节中，通过独立思考与解题，进一步加强对基本策略的理解，锻炼合理运用基本策略的能力.4

2、、在“代数”和“几何”两大数学思想的基础上，通过进一步细分而形成的多种基本策略的探索过程，体验思维产生、发展和深化的过程，锻炼解题方法、技巧、规律的归纳能力，领悟基础知识、基本思想、基本方法的价值．二、重点与难点1、重点：解决多元条件最值问题的基本策略2、难点：在题设特征的动态差异下作出基本策略的合理抉择三、教学过程●学前自主阅读与理解：多元条件最值问题是指在二元约束条件下，求二元目标函数的最值.从高等数学的角度来看，是在空间直角坐标系中，求一个曲面上对应于约束曲线的一条空间曲线的最高（低）点.一般

3、情况下，需要用多元微积分知识才能解决.但中学里讨论的是特殊情形，可以在空间问题平面化的思想下寻找解决办法.但鉴于解决办法具有多样性和技巧性，故本课重点针对容易理解和掌握的几种基本策略进行介绍.●自主练习与策略归纳①已知，且，求的最值②已知，且，求的最值【设计意图】通过解决简单问题，让学生归纳尽可能多的方法，进一步强化运用代数与几何两大数学思想的意识.●思想细分与基本策略研究例1：已知，若，求的最大值.①方程策略：构造一元二次方程，转化成方程有解的问题.②规划策略：设目标函数的值为一系列数值，得到一个

4、直线族，从直线族中寻找一条和约束曲线有公共点，且处于极限位置的直线.设，则，代入条件，并化简得，因，所以，得，所以③基本不等式策略：由于约束条件和目标函数的结构具有很强的联系，可借助基本不等式，求出目标函数的最值.条件可化得，又取得最大值时，必定大于0，所以，消去，并令可得到关于t的不等式，两边平方得，所以④参数策略：由于约束条件可转化为平方和为定值的形式，故可引入参数，用三角代换分别表示.条件转化为，令，则，可得，，所以，可得.⑤三角形策略：约束条件可转化成余弦定理的形式，通过构造三角形解决问题.

5、2xy1ABC约束条件可化为，于是构造△ABC，使得各边长如图所示，，易得，在△ABC中，由正弦定理有，所以（当且仅当B=C，即y=2x时，取得最大值）亦可有，故【设计意图】本例的解析，教师可根据“●自主练习与策略归纳”中学生归纳方法的情况加以个性化处理，体现“学生先行，交流呈现，教师点拨（断后）”的教学策略.例2：（三元条件最值问题）已知，满足，，求a的最大值.①方程策略：消元，构造一个以a为系数的一元二次方程，由可得，所以.②均值不等式策略：利用，可得，所以.③解析几何策略：视，则可理解为直线与

6、圆相交，，可得，所以.【设计意图】本例拓展至三元条件最值问题，帮助学生拓宽视界的同时，进一步深化基本策略的运用，教师可根据学生实际开展个性化的教学.●自我诊断1、已知，且，求的最小值.2、对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.简析：①基本不等式策略：，当且仅当时，故，所以②方程与规划策略：设，则，代入，得，由可得，当时，下同本题①③三角形策略：因为，所以构造三角形，下同例1策略⑤④参数策略：，引入参数，下同例1策略④【设计意图】检验对基本策略的掌握情况，加深对基本策略的理解，锻炼运用能

7、力.●解决多元条件最值问题的基本策略序号策略目的或步骤1方程策略转化成一个一元二次方程有解的问题.2函数策略转化成一个显函数的最值问题.引入参数，分离变量，再转化成关于参数的函数的最值问题.3基本（均值）不等式策略抓住约束条件与目标函数特征与联系，利用或构造基本（均值）不等式解决问题.4规划策略设目标函数的值为一系列数值，形成一个直线（曲线）族，从族中寻找一条和约束曲线有公共点，且处于极限位置的直线（曲线）.5三角形策略将约束条件转化为余弦定理的形式，构造三角形解决问题.6解析几何策略将约束条件视为

8、或转化为曲线方程，利用目标函数的几何意义解决问题.