求解多元条件最值问题的常用策略

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1、第7朝高中数学教与学O解题思路与方法O求禳多元条件最值问题的常用策酪林／J、庆(浙江省嵊州爱德外国语学校，312400)最值问题是高中数学中永恒的话题．在当且仅当Y=3x即=4，Y=12时取等号．最值求解中，尤以求多元条件最值问题技巧评注当题中有两个或两个以上的变量性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战(或未知数)且约束条件方程个数少于变量性，成为最值求解中的难点和热点．求多元条个数时，要同时求出它们的值是做不到的．如件最值的常用策略有：函数策略、方程策略、果能先消去一些变量(或未知数)使其减少不等式策略、三角函数策略、解析几何策略．到一个

2、，建立函数或方程关系，则便于找到解具体运用这些策略时有消元、换元、数形结合题途径．等手段，本文结合例题将这些策略和方法加例2(2011年浙江高考题)设，Y为实以总结，供大家参考．数，若4+y2+xy=1，则2+Y的最大值是一、二元条件最值问题例1已知正实．数x,y满足上1+-0三-=1，解法1(不等式策略)由条件，可得Y(2x+y)。=4x+y+4xy则+Y的最小值为——．=1+3y=l+号·2·解法1(函数策略)．由÷戈+÷V_1，得y=一I，≤+寻()．所以(2+y)≤8l~p(2+)，)一=2丁4i-~代人+y，得+Y=+．．，解法2不

3、等式策略)当xy≠0时，令t=一1，得+Y=十÷+10，利用(2x+y⋯‘基本不等式可得最小值为16．解法2(方程策略)=1+三——+上+1令+Y：，则y：￡一，代入+：+再YY1，得方程+(8一t)x+t=0，注意此方程有≤．．38+——一·2．上+15两大于1正根这个隐含条件，可得t≥16．解法3(不等式策略)当xy=0时，易知(2x+y)=4x+Y++)，：f、1+旦)(+y)4xy=1．所以(2+，，)一=2—,／i-~：10+上+堕_．Y解法3(方程策略)令2x+y=t，则，，=≥10+2√÷·9__yEx=16,t一2x，代人已知

4、条件，并化简得6x一3tx+t高中般学教与学2015年一1=0．因为为实数，所以由△=9t一24(t2=l，得。。+6。+口6=1c，整理得口2+6’+一1)≥0，得t2≤8，所以一：．口6=(号+6)+鲁B2；÷．令号+6=评注本题条件可看作动点P(，Y)在曲线4++xy=1上移动，令2+Y=t，COSO,譬。=譬sin测口=3si‘nO,所以则直线2+Y=t和曲线4+，，2+xy：1有交点．这种类型的题目在近几年各省市的高口的最大值为．考卷中出现频率很高，掌握了解法3这一通性解法4由条件得b+c=1一a．令b=通法，可以以不变应万变．可见

5、通性通法，淡8in0，c==cos，代入口+b+化特殊技巧是高考的基本要求．二、三元条件最值问题c=0．当^／／l一Ⅱ≠0时，解得例3(2014年浙江高考题)已知实数口、stn(日+詈)一高，b、c满足口+b+c=0，a+b+c=1，贝Ⅱ0的最大值一即lsin(+詈)l=l一I≤，分析1(方程策略)将两个已知条件中的c消去，整理成关于b的一元二次方程，联想解得。2≤了2，eP一≤。≤，所以口的到方程有解，判别式恒大于或等于0，得到关于a的不等式，求解后即得n的最大值．最大值为解法1(判别式法)将c：一(a+b)代分析4(解析几何策略)通过变形

6、可以入a+b+c=1，得26+2ab+2口一1=转化为圆的问题和椭圆的问题来解决．0．此关于b的方程有实数解，则A=(2口)一解法5令b=，c=y，贝0+Y=一口，8(2口一1)≥0，整理得口≤2，即一≤0+Y=1一a．此时直线+Y=一口与圆Jj+)，=1一a。有交点，则圆心到直线的距离d≤，所以口的最大值为．J=≤，得n≤，即一≤n,／2jj分析2(不等式策略)将两个已知条件中c的消去，整理成关于a，b的式子，联想到基≤T，所以口的最大值为．本不等式2ab≤n+b转化为关于口的不等评注此题立足函数和不等式的基本概式，求解后即得口的最大值．念

7、和性质，涵盖知识面广，从等式、不等式、三解法2因为b+c=一a，所以1一口=角函数、解析几何等不同的策略经过仔细思b+c=(b+c)一2bc：a。一2bc，所以2口考，运用不同的知识和方法产生了不同的解一1=26c≤b+c=1一口，得一V-≤口≤法，涉及函数与方程思想、等价转化思想等数J学思想．，所以口的最大值为．例4设正实数，Y，满足一3xy+4J_)一：=0，则当型取得最大值时，三^+'一三^的分析3(三角函数策略)将两个已知条件中的c消去，整理成关于a，b的等式，配方后最大值为()根据式子的结构特征联想到三角换元，利用(A)0(B)l(

8、c)9(D)3正弦函数的有界性即得。的最大值．解法3将c=一(a+b)代人口+b+分析1(函数策略)．】4．第7朝高中教学教与学先利用已知条件用，Y来表不，再经过量