函数最值问题求解策略浅探

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1、函数最值问题求解策略浅探最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之屮，在生产实践屮也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基木方法，形如F(x)=4/2U)+z?/(x)+d的函数最值问题，均可使用配方法。例1、已知/(x)=2+log；/w[1,3],求函数y=[/(兀)]2+/(X2)最值。解：由/(x)=2+log^xe[l,3]，得y=[/(x)]2+/U2)=(2+log^)2+2+logf=(logO2+61og；+6

2、=(log；+3)2-3o又函数f(x)定义域[1,3],所以函数y=[/(x)]2+f(x2)定义域为｛心今，解得135巧，所以loggo,*］。由二次函数单调性得，60,当x的范围是R时,仅考虑止即可，当X的范围非R时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形

3、如y=件：+加+(1a®不同是为0)分子、分母无公因式的函数最值a2x^^b2x+c2常用此法。例2、求下列函数最值(1)3%%2+4:⑵J：+4_7x2+2X+33xa解；(1)由y=,得yx2-3x+4y=00x+43333当网时g当円时，由“0得寸r,故原函数最小值为盲,最大值为才。(2)将已知函数式变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y—2)/+2(y—2)x+3y+7=0,显然丁工2,将上式视做关于x的一元二次方程。0xg/?,BP±述关于x的一元二次方程有实根，所以[2()一2)]2-4()一2)(

4、3)，+7),99解得—SyS2。又)，h2,函数最小值为—。评注:若在解的过程屮经过变形，从而扩大了的取值范围，利用判别式求出的范围后，应综合函数的定义域，将扩大部分剔除。三、换元法主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时,要特別关注中间变量的収值范围。特別的，形如y=ClX+b+JcX+d(Q,b,C,d均为常数，且0工0)的函数常用此法求解。例3、求函数y=2x+J-2兀+1最小值。解:令t=71-2x(/>0),则x=^-f贝ijy=-r+t+l=-(t-丄)2+丄1丄,2244所以，所求函数最小值为丄。4注：

5、(1)换元前后的等价性。题中t=V1-2xt>0,而不是看解析式有意义的t取值范围;(2)换元后可操作性。11v-7丫？+k"+丫°例4、求函数尸出宀/'的最大值和最小值。.—I—2x~+x+x'•-V-1+2x2+x4+1+2x2+x41-x2u+戏丿gF,令严，则1Vf(x)=f(e)=cos2^+-sin^=-sin2^+-sin^+l=-sin0-丄+221716，.当sin()冷时,f(x)最大值为”，当sin=T时，/(兀)最小值为—*四、数形结合法主要适用于具有几何意义的函数，通过函数的图象求最值。例5、已知x

6、'+y'-2x+4y-20二0求x'+y?的最值。分析:本题已知条件转化为(x-l)2+(y+2)M5,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理。解：作x2+y2-2x+4y-20=0的图形，它是圆心在P(l,-2)半径为5的圆，依题意冇x2+y2=2x-4y+20,设x?+y2=z，则z=2x-4y+20即y=丄+岂二，其图形是斜率为丄且与已知圆相交的一簇平行线，于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题。由平面几何知识知，圆心P(l,・2)到切线2x-4y+20-z=0的距

7、离小于或等于半径.即"xI一Ax(―2)+一§,即130-2広10厉，故Q+(-4尸30-10^5五、函数的单调性法(1)关于白变量x的一次根式，女口y=ax+b+4dx+c,用换元法求解，当ad>0时，也可利用单调性求最值；；(2)形如y=x+-(k>0)的函数常考虑利用单调性，当x>()时，函数单调减区间(0,VT],单调增区间为[低,+00),因其函数图象形如“J”，故称为对号函数，其分界点为(低,2低)。对于XV0情况，可依据函

8、数奇偶性解决；(3)复合函数的最值，常用此法求解。兀~+2xH—例6、求函数y二,XG[1,4-00)的最小值。兀2+2兀H—]7解：由丁==x+—+2在[1,+8)上是增函数，得f(x)在[1,+8)上最小值为f(l)=—。x2x2例久求函数y=-x+V~2x+1的最小值解：设=-x,y