三角函数最值求解策略

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三角函数最值求解策略【方法技巧】三角形中的范圉与最值问题，是学生学习解三角形的过稈中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.方法一配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数;第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.方法二化一法使用情景：函数表达式形如/(x)=«sin2x+/?cos2无+csinxcosx+d类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如y=dsinx+Z?cosx+c形式;第二步利用辅助角公式asin兀+/?cosh=(兀+/)化为只含有一个函数名的形式;第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.常见问题一求三角形血积的最值问题使用情景：一般三角形小解题模板：第一步通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦 定理等，将问题转化为三角变换、基木不等式、函数值域等类型加以解决;第三步得出结论.常见问题二求三角形中边或角「的取值范围使用情景：三角形中解题模•板：第一步通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系;第二步利用三角恒等变换、正眩定理、余弦定理及英辅助角公式等转化;第三步得出结论.【应用举例】【例题1】已知函数/(x)=cos(—+x)+sin2(―+x),%e/?,则.f(x)的最大值为()22A.—B.—C.1D.2-/244【答案】B【解析】试题分析：Tf(x)=cos(—+x)+sin2(—+x)=-sinx+cos2=l-sinx-sin2x=-(sinx+—)2+—,2224・••当sinx二丄时，函数的最大值为丄.24考点：诱导公式、配方法、三角函数的最值.【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是釆用换元法即令t=sinx,将其转化为关于t的二次函数求最值问题.【难度】容易【例题2】求函数y=7-4sinxcos兀+4cos?x-4cos4x的最大值与最小值.【答案】io与6.【解析】试题分析：将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含sin2x的式子，利用换元法，令“=sin2x,根据二次函数的性质求最值.试题解析：=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2%+4cos2x(l-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2兀+sin，2x=(l-sin2x)2+6令“=sin2兀,“g[-1,1],由于函数z=(w-1)2+6在[一1,1]中的最大值为z“和=(—1—1)'+6=10最小值为zmin=(1-1)2+6=6 故当sin2x=一1时y取得最大值10,当sin2x=1时y取得最小值6.考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.吨兀］【难度】一般【例题3】已知函数/(x)=V3sin2x+sinxcosx,(1)求方程f(x)=0.的根；(2)求/(x)的最大值和最小值.【答案】(1)f(x)=0的根为兀=兀或兀二5兀~6(2)于(兀)的最大值为巧，最小值—1+【解析】试题解析：(1)令/(x)=0,得sinx-(>/3sinx4-cosx)=0,所以sin兀=0,或tan兀=V337[由sinx=0,xe[—,n],得无=兀；2rhtanx=V33函数/(x)的零点(2)/(x)=^(l-cos2x)+*in2*sin(2x送)+£为"lir7tr宀兀「2兀5兀鼻因如巧m，所以2一于［丁,丁］.当2&罟,即“訓念)的最大值为圾当2-鈔乎，即“罟时，加的最小值为2考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的最大值和最小值.【点评】化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幕公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用.【难度】一般【例题4]设函数/(x)=2cos2x+2a/3sinxcosx-l(xgR)(1)求函数/(x)的最小正周期；7T(2)若0vxWq,求y=/(x)的值域.【答案】(1)71；(2)[1,2].【解析】 试题分析：(1)由公式2cos2x-=cos2x,2sinxcosx=sin2x,把/(兀)化成f(x)=sin2x+cos2x,TT9/7然后再利用辅助角公式得/(兀)=2sin(2x+—),继而得vv=2,最后由周期公式厂=—,即可求出函数6w/(X)的最小正周期；(2)根据0—的范围，得出一<2兀+—5——，利用正弦三角函数y=sinx的有界性，得出3666TTsin(2兀+—)的范围,即求出函数/X兀)的值域.6(1)因为/(x)=2cos2x+2^3sinxcos-1=2cos2x-l+2V3sinxcosx=cos2x+V3sin2兀=2sin(2x+—).6所以/(X)的最小正周期是T=—=^.2/c、八/兀7171“2兀71、兀(2)00)的最小JE周期是6(1)求/(X)的单调递增区间；TT(2)求.f(x)在［一，于］上的最大值和最小值.88TTTT【答案】(1)一丝+炽上+£兀(kwZ)63［7_R(2)最大值2、最小值¥【解析】7T试题分析：(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式/(x)=4cos亦sin(亦-一)+1⑺>0)化为6JT/(x)=2sin2cox-一,然后根据周期公式确定⑵的值.最后利用正弦函数的单调性求出/⑴的单调递V6丿增区间 r7i3/r](c龙)「龙7^1a/6-V2•(L88」I6；L1212」4I6)试题解析：(兀、厂"解：(1)/(x)=4coso)x-sincox+1=2/3sino>xcos69x-2cos2cox+—>/3sin2cox一cos2a)x=2sin2coxI62/r最小正周期是丄=712coJT所以，⑵=1从而/(x)=2sin2x——k6丿令F2k兀<2x<——f2k兀,解得k/u-<2x+-<—,得——这样，在AABC中，便已知了两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积. 试题解析：(1)先化简f(x)的解析式:/(x)=/3cos2x-[l+cos(2x+—)]+1=巧cos2x+sin2x=2sin(2x+—)由討彳G+彳晋,得子sin(2x+評1所以函数/(劝的最小值二2(-二)(2)由(1)知函数3~V3/(x)的最大值=3_J5x(_r疗)=6.AABC中，A=45,b=3近，a=6,(正弦定理)，再\b/3sinxcosx+2cos2x+tz(xe/?),其中a为常数.(1)求函数y=f(x)的周期；(2)如果y=f(x)的最小值为0,求a的值，并求此时/(劝的最大值及图像的对称轴方程.【答案】(1)丁二兀,(2)°=最大值等于4,26【解析】试题分析：(1)研究三角函数性质，首先将其化为基本三角函数，即化为形如=人厲11(血兀+0)+〃，由倍——兀角函数性质进行求解，即"2_*(2)由歹=/(兀)的•最小值为-2+a+lm-l,得a=lf因此最大值2x+—=k/r+—(keZ]x=—+—(kgZ)为2+a+l=a+3=4.对称轴方程满足：62，即：26试题解析：(1)y=1+cos2x+>/3sin2x+1=2sin(2x+—)+6f+1,.T=7r；(2)/(兀)的最小值为0, yy77y?•••—2+g+1=0，=•••函数y=2sin(2x+—)+2•最大值等于4,2x+—=丘龙+—伙wZ),即662x=—+-伙wZ)时函数有最大值或最小值，故函数/(兀)的图彖的对称轴方程为x=-+-伙wZ).2626考点：三角函数性质，三角函数式化简【难度】一般【例题9】求函数y=2-smx的最值.2-cosx【答案】尸2一sinx的最大值为上迈，最小值为士迈2一cosx33【解析】设A(2,2)^(cosx,sin则纭=土巴兰，即你八为过点两点的斜率.所以要求函数2-cosx2-sinx的最大值，只要求直线PA的斜率紡人的最大值即可.2一cosx因为cos2x+sin2x=l,所以P(cosx,sinx)在单位圆上因为直线PA的方程为：y=kPA(x-2)-2,所以直线P4与单位圆相切时，斜率知人取得最值.由=],解得甘丝也所以y=2-sinx的12-cosx最大值为士空，最小值为上匸.23【难度】一般【例题10]AABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=hcosC+csmB.若o+c=2贝|J△ABC的面积最大值为•【答案】—4【解析】因为a=/?cosC+csinB,所以有sinA=sinBcosC+sinCsinB,因为A=”-(B+C),可以把式子化简为sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,利用两角和差公式，可以得到sinB=cosB,即3=45面积=d阮至也,2444又因为a+c=2,所以sSV24【命题意图】本题考查解三角形的基础知识，意在考查基本运算能力.【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、正弦定理等知识，是一道 察解三角形的好题.【难度】容易 【例题11】已知IBC中，三边为(ibc、且竺£=丸二£,b=求ZBC面积最大值.cosBb【答案】乎3a-ch【解析】由竺£=四二£得2呻cosBha?+。2一胪2ac即2：*八：)=3a—c,去分母化简得3(a2+c2-h2)=2aca+L-kruui、iD"十c?—b~1zH•D2V2所以cosB==—，得sinB=2ac333(/+c2-Z?2)=2gc得3(c『+c2-3)=2ac,ilij6t2+c2>2ac所以3(a?+c2-3)>3(2ac-3)=6ac-9,即2ac>6ac-9所以ac<-,4Swc=如血B吕舟.干3V2"T"即△ABC而积最大值为笹4【难度】一般【例题12】已知ABC中，A(-2,0),B(0,2),C(cos0-+sin0)(0为变数)，求AABC面积的最大值.【答案】SwC的最大值是|x2>/2x(l+|V2)=3+V2厶乙X=cos0【解析】设C点的坐标为(兀丿)，则｛八y=-l+sin&即x2+(y+l)2=1为以(0,-1)为圆心，以1为半径的圆.・・・A(-2,0),B(0,2),A|AB1=74+4=2^2,且AB的方程为—+-=1,-22即x-y+2=0,则圆心(0,一1)到直线AB的距离为：(一D+刀=-y/2.2・・・点C到直线AB的最大距离为1+色血，2・•・SwC的最大值是|x2>/2x(l+|V2)=3+V2厶乙 【难度】一般【例题13】在锐角△ABC屮，A二2B,则？的取值范围是b【答案】(竝命)【解析】因为A二2B,所以2Be(0,-),/.Be(0,-),又C=^-A-B=^-3Be(0,-),/.Bg(-,-),24263所以Bw(兰,冬)，所以^=^=^=2cosBe(^^).64bsinBsinB【点评】①本题易错在求B的范围上，容易忽视“△ABC是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之问的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.【难度】较易【例题14】在MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b、c,且ggsC血A成等差数列.(1)求B的大小；(2)若b=5f求MBC周长的取值范围.TT【答案】(1)B=~.(2)(10,15J.【解析】(1)由题意知<7cosC4-ccosA=2Z?cosB,由正眩定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,~171所以sin(A+C)=2sinBcosB,于是cosB=—,B=—.(2)由正弦定理」—=—==学，所以］sinAsinBsinC10.10.10.2/r10.m•兀、67+Z?+c=—-j=sinA+5—尸sinC=5—sin(A)H—尸sinA=5+10sin(AH—)a/3a/3a/33V36—▲TC0071.712/r严―,.又由0vAv—得一vA+—v—,所以266371a+b+c=5+10sin(A+—)w(10，15]・6【点评】对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的.考点：1.三角恒等变换；2.基本不等式.【难度】一般 【实战演练】7T112015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(—兀+卩)+46据此函数可知，这段时间水深(单位：ni)的最大值为()”水僅/mOMfi/hA.5B・6C.8D.102.[2015高考安徽，理10】已知函数/(x)=Asin(亦+0)(A,3,0均为正的常数)的最小正周期为兀，当兀=——时，函数/(x)取得最小值，则下列结论正确的是()(A)/(2)2,则加的最小值为-3.【2015高考天津，理15】已知函数/(x)=sin2x-sin2x--,xeR6丿(I)求/(兀)最小正周期；(II)求于(兀)在区间卜匕,f]上的最大值和最小值.(、4.[2015高考重庆，理18】已知函数/(x)=sin—-xsinx-/3cos2x12>(1)求/(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论/(兀)在彳，年上的单调性.TT8.【2015高考湖北，理17]某同学用“五点法”画函数/(x)=Asin(亦+/)⑺>0,|©|v—)在某一个周期内的图象吋，列表并填入了部分数据，如下表：CDX+(p0712713兀22兀X71亍5兀6Asin(69x+0)05-50(I)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数/(兀)的解析式;(II)将y=/(x)图象上所有点向左平行移动&(&>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象•若y=g(x)图5兀彖的-个对称中心为(0。)，求〃的最小值.9.[2015高考北京,理15】已知函数/(x)=V2sin—cos—-a/2sin2—222(I)求/(兀)的最小正周期; (II)求y(兀)在区间［一龙,0］上的最小值.10.【2015高考新课标1,理16］在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75°,BC二2,则AB的取值范围是•11.［2015高考山东,理16】设/(x)=sinxcosx-cos2兀+—.(I)求/(兀)的单调区间；ra(II)在锐角中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/一=0卫=1,求ABC面积的最大值.(2丿12.【2015高考湖南，理17】设MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanAf且B为钝角.(1)证明：B-A=~；2(2)求sinA+sinC的取值范围.rA.13.己知函数/(%)=2siny的定义域为［a,b］,值域为［-1,2］,则h-a的值不可雄是()C-T14.ABC中，角A,B,C所对边的长分别为ci,b,c,若a2+h2=2c2,贝iJcosC的最小值为()V222~215.已知函数/(x)=(l+/5tanxjcos0,-1,则/(兀)的最大值为.2丿16.已知于(兀)=sine+cose(69>0),xwR,在曲线y=f(x)与直线)，二1的交点中，若相邻交点距离的最小值为兰，则/(兀)的最小正周期为.（1）求角C；（2）求厶ABCifij'积的最大值.3 18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列，JLsinAsinC=-.4（1）求角B的大小；（2）若b=3,求ABC的而积最大值.19.已知AABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AABC的外接圆的半径为且dsinA-csinC=（a-b）sinB.（1）求ZC；（2）求AABC的而积S的最大值.20.已知函数/（兀）=Asin（亦+0）（4>0,0>0,岡V”），在同一周期内，当兀=令时，/（兀）取得最大7值3；当x=—时，/（兀）取得最小值-3.（I）求函数/（兀）的解析式；（II）求函数/（劝的单调递减区间；777T（1【1）若兀w时，函数/t（x）=2/（x）+l-m有两个零点，求实数加的取值范帥36