三角函数的最值求解策略

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1、三角函数的最值求解策略四川省武胜飞龙中学梁洪斌(638402)求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域，值域、单调性，图象和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数，不等式、方程、几何等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性。学生常难以掌握，现就其常见类型做一归类求解，以便于学生掌握。对于y=asin兀+/?(或y=dcos兀+/?)型直接利用二角函数的值域求解，须注意对字母进行讨论。例1:求函数=(3a+1)sinx-2(a--)的最值。解：当3°+1〉0即d>

2、-丄时,则当sinx=1即x=2kfr++-(keZ)时32TTymax=3。一1当smx=-l^x=2k7r-—(keZ)时儿=一3«+1)1JT当3d+V0即d<一一时,贝I」当sinx=-1即兀=2k兀(kgZ)时,ymax=-3(a+1);32TT当sinx=1即兀=2k兀+—伙gZ)时,ymin=3a-l二、对于y=asinx+bcosx+c(ab0)型，常引进辅助角y=-Ja2+b2sin(x+3)(或歹=yja2+b2cos(x-3))再利用正(余)弦函数的有界性求解。例2、求函数y=sin兀(sin

3、x+^3cos兀)+1的最值。解:•/y=sinx(sinx+侖cos兀)+1=sin2x+V3sinxcosx+1=sin2x+V3sinxcosx+11-cos2x丁3.小、—1sin2x+112=—sin2x-—cos2x+—222=sin(2x-—)+—62/.当sin(2x)=1即2兀=2k7r+—伙wZ)662rrSymax'•X=k7l+~伙WZ)时，『max=~当sin(2兀一彳)=一1即2兀一彳=2R;r—彳伙eZ)i=k兀-土伙wZ)时，ymin=

4、三、对于一皿二型，可转化为/=Asinx+Bc

5、osx型求解或用数ccos兀+d形结合法求解(常利用直线斜率的几何意义)例3、求函数y=的最大值。2+sinx解法一：rtly=s'*可得ysinx-V3cos兀=-2y2+sinxsin(x+&)=-2y(3为辅助角)•:sin(x+<9)=——/)‘故此函数的最大值为1,最小值为-1。解法二：数形结合法，由汁怦竺可得,2+sinx辛二且V所以可设点<3sinx-(-2)P(sinx,cosx),Q(-2,0),则上斗可看作是单位sinx-(-2)圆上的动点与点Q连线的斜率，如图所示设直线QPi的方程为y=k(x

6、+2)即也-y+2k=0则圆心Q(0,0)到它的距禺d==］解'加+1得:kA--—s^k2-—1~3•V3y••—373A-l

7、sinx<1（或

8、cosx

9、<1）求解或利用分离变量法求解。例4：求函数尸辿2的值域。-sinx+3解法一：由"空g可得siw=3一sinx+3y+3X-l

10、域为pl'42L42_解法二：•防竺-sinx+33-sinx5^e/-1

11、sinx

12、<1的约束。例5:设f(x)=cos2x+asinx-—(0

13、2cra1,八、-^--y+—-t+t(0W/W2)2442二①当舒1即a、2时，/(/)在［0,l］±递增。此时M(a)=g(l)=卞-*2T②当0聖vl即0"v2时g⑴在［0,1］上先增后减。•••M⑷=g(纟)=---+-22442__a_2_4③当纟<0即avO时,2综上可知：g(/)在［0,1］上递减。/.M(a)=g(0)31—a42cra1442丄纟2_4(0对于形如y=a(sinx+cosx)4-ftsinxcosx型可利用换元法，转换成二次函数求解。例6:求函数y=(s

14、inx+a)(cosx+a)的最值(0vaWV2)解：•/y=sinxcosx+«(sinA：+cosx)+t722

15、令sinx+cosx=f则虫［-血,血］凡有sinxcosx=—故y=‘一'+川+/=丄(r+6z)2+a一1■222当t=血时,=/+屈+*