三角函数最值问题的求解策略

《三角函数最值问题的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、三角函数最值问题的求解策略•中学数学论文三角函数最值问题的求解策略甘肃民乐第一中学朵天举—、化为一个角的三角函数形式求解已知的三角函数式能够通过变形化为形如y二Asin（3X+?准）+k等形式的,常常可以利用三角函数的有界性或单调性来求其最值•这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.例1:(1)求函数/(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最值.⑵求函数/(X)=53cosxsinx+sin2x+6cos2x在7TIT6"^1上的最值.解析:(1)原函数的解析式可化为/(x)=1

2、+sin2.v+2cos2x=2+sin2r+cos2r=2+V3sin(2v+亍),因为-1Wsin（2i+于）V1,所以函数y^（x）的最大值为2+小值为2-T・解析：(2”、(x)=53cosrsiiiv+sin2x+6cos2.r-，，sin2x+-~+3(1+

3、-cos2x4=5sin(2r+^)+牙故/(x)=5sin(2x+—)在x丘6TTTV上是减函数，所以当“产时•心）冇最大值为5血（孚+?）+?二5--o3oZ2斗,当x号时y（x）w最小值

4、1评注:这类三角函数求最值的问题,主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的有界性或单调性，确走三角函数的最值。二配方分析法对能够化为开彳如y=asin2x+bsinx+c或y二acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题,可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。例2：函数y=-sin2x-3cos：v+3的M小值为（）.A.2B.OC・-丄D.64解析:本题可通过公式sin2x=1-cos2x将函数表达式化为y,因含冇cosx的二

5、次式，可换元，令2cosx则-1WfW1,y=尸一3（+2配方，得y二/―5--,T-lWfW1,・•・当Z=1时9即cox=l时jmFa选B・评注：此种方法在求三角函数的兹值问题中较为常见。但在最后讨论最值时，往往容易忽略口变/（例屮以COSX为口变;d）的取值范围而出现错误应该引起注意。三.换元法对丁•表达式中同时含冇siiix+cosx,与siurcosx的函数，运用公式（sin.v±cosx1±2siarcos：v一般都可采用换元法转化为/的二次函数去求绘值，但必须要注总换元后新变吊的取值

6、范eaj例3：求函数v-siiiv+cosi+sin.rcosix的授大值.耳i析：i殳sirkv+cosx=/J!1]/=2sin(x+—)ttL/e[-4所以=-i-(^+l)2-1，/&[-V2,/2I当V2时，冇）爲=2+四、数形结合转化策略对丁•形如尸上鱼・的三角函数绘值问题來说•将v=a-cosx上沁视为定点C）与臥位圆丄的点（“戟小宀连线…（7-COSA：斜率來解决例戮求函数尸尹沁的最小值.2-cosx餡析:y可看成连接点A（2,2）与点p（cosiv,siur）69百线的斜率

7、•由丁-A（cosx,sinx）的轨迹是单位圆，所以求y的最小值就是在圆上求一点•使得相应的直线斜率授小.设过点4的直线与圆相切「点〃•切线.1H的方程为y-2=k（第-2）即:kx-y-2k+2=0圆心到直线的距离d=,解得斤二气7_,1+妒3故少爲=4_了评注:这类三角函数的最值问题，常常利用其几何意义求解。综上所述,解决三角函数最值问题，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性、单调性等）,另一方面还要抓住题目的关键和本质所在，将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二

8、次函数等）最值问题。