求解三角函数最值问题常见的八种策略

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1、求解三角函数最值问题常见的八种策略例1若lxl<—,那么函数f(x)=cos2x4-sinx的最小值是4V2-121+V22C.—1D.1-722解将原函数配方得f(x)=—(sinx——)24-—.由于1x1^—,所以Isin兀IS—^―.当=日寸,/min(兀.选D・小结配方法是一种対数学式子进行定向变形配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简•何时配方，需要我们适当预测，并月.合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.化为一个角的三角函数策略例2已知函数/(x)=2sin(^-x)cosx.(1)求于(兀)的最小

2、正周期.TT7T(2)求f(x)在区间-丝，丝上的最大值和最小值._62解⑴・.•/(%)=2sin(;r-x)cos%=2sinxcosx=sin2x，•:函数/(兀)的最小正周期为兀.(2)由一壬<%<—=><2x<7T,

3、中进行转化，但实质上都是考查模型y=Asin(cox+(p)和y=Acos(69x+(p)的应用•利用换元法策略例3求函数y=x+Jl—兀$的最值.解令X=COS0,°£&5龙，则），=cos&+sin&=V2~sinf+—•山于V4丿05&5龙，则有—<0+—<—‘故）贏=血（仅当+~~时）'44442沧=-1（仅当&+牛乎时）•小结换元转化、整体代换的方法可以将三角函数问题转化为代数函数如二次函数等）问题，也可以利用三角函数通过三角换元转化为三角函数求最值.利用有界性策略Qiny4-1例4求函数—的授值.cosx-2解将原函数变形为1丄Csin兀一ycosx=-2

4、y—1,即sin（x-（p）=——〔（其中（p=arctany）.Jl+b由

5、sin（x一（p）<1,51•将上述式子两边平方,=0.整理得一彳5『50.ymax小结（1）求函数的值域要重视运用三角函数的有界性（sinxl

6、-2）连线的斜率，而点A是单位圆x2+y2=1上的动点.由右图可知，过点5（-2,0）作圆的切线时,斜率有最值.由几何性质有y^ax『min=_写.小结通过图像进行直观化研究，结果一冃了然.利用基本不等式策略例6若xG(0,—),则2tanx+tan(—-x)的最小值为•22解由xg(0,—),可矢［1tan6T>0,tan(—-a)=cota=—-—>0,所以22tan^z2tan6r+tan(—-cr)=2tan6r+—?—>2^2,当仅当tan时取等号，即最小值为2tana2a/2.小结由基本不等式求最值可分为三步：第一步，检查字母是否全止即所求平均值的各个量都

7、是正数)•第二步，凑定值，当凑出的和为定值时，其对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值吋，其对应各个量的和有最小值•第三步，取等号，即只有当对应各个量取得等号时，才有最值存在，否则，没有最值存在•以上三步可简化为“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可.利用单调性策略例7求函数y=log271+sinx+log2Vl-sinx在一兰

8、事实上，这是一种建立“中途点”的处理策略，即要实现从A到E的目标，可以将整体任务分解为一个个的“小”任务，也就是在起点与终点之间建立“接应站“，从而减小跨度，降低难度.利用图像的性质策略例8求函数y(x)=2-4(7sinx-cos2x的最大值和最小值.解原函数可化为y=/(x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-n)2+l-2a2.设sinx=t,则-1?min=g(-l)=3+4°.当-1551时，如下图所示,有ymin