例谈三角函数最值问题的求解策略

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1、例谈三角函数最值问题的求解策略　三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法。　　一、可转化为y=Asinωx+φ+B形式　　形如y=asinx+bcosx的函数可以利用辅助角公式转化成y=a2+b2s

2、inx+φ（其中tanφ=ba）的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型。　　例1求函数y=sin2x+3sinxcosx－1的最值，并求取得最值时的x值。　　解：y=32(1－cos2x)+32sin2x－1=32sin2x－12cos2x－12=sin(2x－π6)－12，　　∴当2x－π6=2kπ+π2,即x=kπ+π3(k∈Z)时，y取得最大值，ymax=12；　　当2x

3、－π6=2kπ－π2,即x=kπ－π6(k∈Z32。　　二、可转化为二次函数的形式　　若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。　　例2函数y=－sin2x－3cosx+3的最小值为（）。　　(A)2(B)0　　(C)－14(D)6　　解析：本题可通过公式sin2x=1－cos2x将函数表达式化为y=cos2x－3cosx+2，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则－

4、1≤t≤1,y=t2－3t+2,配方，得y=t－322－14（－1≤t≤1）∴当t=1时,即cosx=1时，ymin=0,选B。　　三、利用三角函数的有界性　　利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。　　四、利用基本不等式法　　利用基本不等式求函数的最值，要合理地拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。　　例3已知0＜x＜π，求函数y=9x2sin2x+4xsinx的最小值。　　解：由0＜x＜π，得xsinx＞0，根据均值不等式y=9x

5、2sin2x+4xsinx=9xsinx+4xsinx≥　　29xsinx4xsinx=12，当9xsinx=4xsinx，即x2sin2x=49时，等号才成立，即有ymin=12。　　五、利用函数在区间内的单调性　　例4已知x∈0,π，求函数y=sinx+2sinx的最小值。　　解：设sinx=t0＜t≤1,y=t+1t在（0，1）上为减函数，当t=1时，ymin=3。　　六、数形结合　　由于sin2x+cos2x=1，所以从图形考虑，点(

6、cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。　　例5求函数y=sinxcosx+2的最大值和最小值。　　解：y=sinxcosx+2的几何意义为两点P(－2,0),Q(cosx,sinx)连线的斜率k，而Q点的轨迹为单位圆，由图（此略）可知,ymax=33,ymin=－33。　　七、整体换元法　　解决sinx±cosx,sinxcosx同时出现的题型：运用关系式sinx±cosx2=1±2

7、sinxcosx,一般都可采用整体换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。　　例6求函数y=4－3sinx4－3cosx的最小值。　　解：y=16－12sinx+cosx+9sinxcosx，令t=2sinx+π4,t∈－2，2，则sinxcosx=t2－12∴y=92t－432+72，t∈－2，2，所以，当t=43时，ymin=72。　　八、判别