例谈椭圆中最值问题的求解策略

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1、例谈椭圆中最值问题的求解策略华安一中宋秋生有关圆锥曲线的最值问题，在近儿年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识而广而II常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利川函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想來解决。本文通过具体例子，对椭圜中的常见最值问题进行分类求解。第一类：求离心率的最值问题利用椭圆定义合理转化2h例1：定长为dd——的线段AB的两个端点分别在椭圆Vax2v2r+

2、F=1⑺〉b〉0)上移动，求AB的中点M到椭圆右准线Ia~b~的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图作A4'丄/于A，,BB'丄Z于B',MM±I于M',则MMf1=+BB'2AF+AB2e当且仅当AB过焦点F吋等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为£。点评：丝是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，dn匹是AB过焦点的充要条件。aa通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。"：建立Q,b,C的不等式利用均值不等式求最值例2：若为椭I员【二+「=l(a>b>0)的长轴两端点，Q为椭恻上一点，使ZA(2B=120(),a~b求此椭圆离心率的最小值。分析：建立a,b,cZ间的关系是解决离心

3、率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件乂不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为朋标形式运用椭圆中兀,y的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设A(a,0),Q(x,y),则kAQ=—-—,k8Q=——,xax—Cl利用到角公式及ZAQB=120°得:x+ax-a=tanl20°(兀工土a),1+x+ax-a20202乂点力在椭恻上，故x2-a2=-^y消去x,化简得y二孚—乂y£b即学a/3c「则4aa2-c2)<3c从而转化为关于幺的高次不等式3”+4/—4n0解得*65av1。故椭圆离心率的授小值为~~~°(或2cib

4、3(^2—/?2)»得0<—5——,rhe二J1-(-)2,3a3Vci故普W注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立a.b.c之间的关系。常用椭圆上的A（X,y）表示成a,b,c,并利用椭圆中x,y的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。例3：已知p为椭圆=l(a>/?>0)上的点,百,耳为椭圆的左、右两个焦点，求PF、•P"的最大值和最小值。解:PF】•PF2<上式当且仅当PF}=PF2f即P位于短轴端点吋取号。・・・（"]■PF?）=a2o1L7max两边平方,得Qpf』+

5、pf2

6、）2—4

7、pfJ・

8、pf2

9、s

10、F

11、F2『,

12、即4/_4『耳卜『再54（72。:.PF^PF2>a2-c2=b上式当且仅当P位于长轴端点吋取号。故幘卜『础"貯几二：利用三角函数的有界性求范例4：已知椭恻C：二+M=1（0〉方〉（））两个焦点为许,尸2，如果曲线C上存在一点Q，使F]Q丄F2Q,crb"求椭I员「离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例2中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的止弦定理及合分比定理可得：]V2sin（6Z+45°）担,近故椭圆离心率的最小值为2。2cPF、PF2PF'+PFq2asin90°sinasin/3sin&+cos/3sin

13、cr+cosa点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题三：建立二次函数并求二次函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）x2y2例5：（05年上海）点A、B分别是椭圆—+^-=1K轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点3620P在椭圆上，冃位于x轴上方，PA丄PF°（1）求点P的处标；（2）设M是椭圆长轴AB±的一点，M到直线AP的距离等于IMBI,求椭I员1上的点到点M的距离d的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解

14、（1）略（2）直线AP的方程是x-y/3y+6=0。设点M（m,0）,则M到直线AP的距离是2m+6于是2=m+6

15、，乂一6三加W6,解得m=2。设椭I员【上的点（,y）到点M的距离d=（x-2）2+/=x-4x2+4+20--x2=-（x--）2+15,992由于一6S加<6,・•・当x=-时,d収得最小值V152点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数一一二次函数的最值问题求解。第三类：求角的最值问题例6：（05年浙江）