专题椭圆中最值问题求解策略

《专题椭圆中最值问题求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、专题：椭圆中最值问题求解策略仃关岡锥Illi线的瑕值问题，在近儿年的高考试卷屮频频出现，在各种题世屮均冇考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。I员1锥曲线最值问题具冇综合性强、涉及知识而广而且常含冇变量的一类难题，也是教学屮的一个难点。要解决这类问题往往利用前数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面儿何中绘值的思想來解决。第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立a,h,c的不等式或方程例1：若为椭圆r+r=l(a〉b〉0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使

2、Z4QB=120°,求此椭圆离心率的绘小值。erb~分析：建立a,b,cZ间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件乂不是与焦点冇关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭侧中x,y的取值进行求解离心率的最值。解:不妨设A(a,0),B(-a,0),Q(x,y),则kAQ=——,kBQ=——,x+ax-ay利用到角公式及ZA0B=12O°得：土巳一=tan120°(xh±q),1+丄丄x+cix-a厶oa2olab1t2ab2.乂点人在椭圆上，故JT—q2=—_y2,消去兀，化简得y=Xy

3、?U

4、J0解得^-

5、一点Q,使丄F.Q,求椭圆离心率的最小值。crlr分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所捉的方法均可。木题如借用三角函数的冇界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c_PF、sin90°sinaPF?_PR+PF2_2qsin0sin&+cos/3sina+cosa故e=——?>—,故椭圆离心率的最小值为返。V2sin(«+45°)22点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点(点线)的最值问题破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值(下面第

6、三类、第四类最值也常用此法)X2v2例3:(05年上海)点A、B分别是椭圆——+二=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于兀轴上方，PA丄PFo3620(1)求点P的处标；(2)设M是椭恻长轴AB.h的一点，M到直线AP的距离等于

7、MB

8、,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此木题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解:(1)略[—+6

9、(2)直线AP的方程是兀一-x/3y-l6=0o设点M(m,0),则M到直线AP的距离是。2m+6于是=

10、/»-6

11、，乂一6

12、M解得m=2o设椭El上的点(兀，y)到点M的距离d549d~=(x—2)~+y2=x—4x"+4+20—x2=—(兀—)~+15,992由于一6三m<6,・••当x=-时,d取得最小值V152点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数一一二次函数的最值问题求解。破解策略之四：利用椭圆定义合理转化(2b2]x2v2例4：定长为dd»——的线段AB的两个端点分別在椭圆—+1T=l(a>b>0)上移动，求AB的中点M到椭圆右准线/的a7crb~最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图作A4'丄/于厲,EB'丄I于B',M

13、M'丄/于M',则MMf

14、=AAf+BB2AB2?d2e当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为—o2e通过定义转化避免各种烦琐的运算过点评：近是椭圆的通径长，是椭圆焦懿^最小值，2近是AB过焦剛充要条件.aa程。第三类：求角的最值问题左准线/与x轴的交点为M,

15、MA]

16、：例5：(05年浙江)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点厲，厲在X轴上，长轴人,2的长为纭砧

17、=2：1。(I)求椭圆的方程:(II)若直线厶:x=/W(

18、m

19、>l),P为片上的动点,使最大的点P记为Q,求点Q的坐标(并用表示)。分析：本题考查解析儿何中角

20、的绘值问题常采用到角(夹角)公式或三角形中的正弦(余弦)定理，结合本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。X2y2解:(I)(过程略)—+—=143(II