立体几何中最值问题求解策略

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1、立体几何中最值问题求解策略立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。策略一转化为求函数最值例1已知正方形ABCD、ABEF所在平而互相垂直，AB=V2,M为线段AC上一动点，当M在什么位置吋，M到直线BF的距离最短?分析：木题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。可用代数屮求最值的方法来解决。解:作MH1AB于H,作HN丄BF于N,易知MH丄平面ABEF.由三垂线定理可知，MN丄BF.设AM=x,则MH=AH=—x,BH=V2-—x,HN=—HB=1222]1a77则MN2=MH2+HN2=-x2+(1--x)2

2、=-(x——)2+-22433所以当AM=-时，MN有最小值色。33策略二借助均值不等式求最值例2求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。解：如右图所示，设正三棱锥高0/二h,底血边长为a由正三棱锥性质可知0{B=—a,又知OA二0B二R3则在RtAABC中,（亍）—貯a2=3h(2R-h)V=-—a2h34V34/r(2/?-/i)=>/3--(2/?-/z)22=警疋（当且仅当齐25,即“y时,取等号）•••正三棱锥体积最人值为策略三借助最小角定理建立不等关系例3d-l-0是直二而角，AwO,Bw0,A,B不在/±,设AB与0,0成的角分别是&]，&2，求&]

3、+$的最大值。解析：如图所示，过A作L垂线，垂足为C,易知AC丄0过B作L垂线，垂足为D,易知丄比所以ZABC=3.jrjrZBAD=q,在RtAABD中，ZABD=一―ZDAB=一―0,22由最小角定理可知&2＜彳-ZBAD=

4、-^,所以q+g＜?当D、C重合时，兰。所以最大值为兰。■22AC//B策略四借助侧面展开图求最短路径沿长方体表面到达C处，求蚂蚁爬过的最短距离。例4＜方体ABCD-A^C.D.中，AB=6,BC=5,CC,=4,—只蚂蚁从人出发,（15解：如左图所示，蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果比较而求得最值。l.AC=yj{AxA+AB）1+BC

5、1、=7（6+4）2+52=V125州Bi5L探讨x2A}C=^（AB-^-BCy+AA；=7（6+5）2+42=Vl?73A}C=7（M+AD）2+DC2=7（4+5）2+62=VTu显然第3种距离最短。策略五利用极限思想最值;例51三棱锥P-ABC屮，若棱PA=x,其余棱长均为2若正三棱锥底面棱长棱长均为1,探讨其侧棱否有最值。解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合,取值为0,若AMC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC的对角线长度为V3第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O

6、重合吋，侧棱取最小极限值逅，PO无穷大时，侧棱也无穷大。3可知两题所问均无最值。