立体几何最值问题求解策略

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1、立体几何最值问题求解策略王中华王广敏最值问题一肓是高屮数学的重点和热点问题，当然，也是历年高考试题都要涉及的题日。在立体儿何中，计算儿何体的最值往往有两种方法：一是利用函数及重要不等式，二是利用化归转化思想将立体几何中的极值问题转化为平而几何屮的极值问题。另外，解决几何体的相切、相接问题的关键是注意两个儿何体之间的等量关系。本文举例说明立体儿何中的最值问题的求解策略。一.利用三角函数求最值例1・已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABB.A,是ZA]AB=60°的菱形，且平面ABBA丄平而ABC,M是A】B】上的动点。试求

2、使二而角A—BM—C的平面角最小时的三棱锥M—A,CB的体积。分析：婆使二面角A—BM—C的平而角最小，必须先构建其平面角，如何构建？如图所示，取AB中点0,在MB±找一点P,因为C0垂直MB,剩下的问题只要使OP垂直于MB即可。这样MB就垂直于平面CPO,则ZOPC就是所求的平面角。在RtACOP屮就转化为求OP的最大值的问题，易发现此时点P即为点B,点M为线段A

3、Bi的中点。Ci解：取AB中点0,过0作0P丄BM,垂足为P,连结CP。VAB是平而A

4、B与平而ABC的交线，CO丄AB,且平而A

5、B丄平而ABC・・・C0丄平面A,

6、BMBu平面A]B,因此CO±MB而OPu平面COP,MB10P,ZOPC即为A】—BM—C的平面角。co在RtACOP中，tanZOPC=——OPCO为定长，ZOPC为最小，即OP为最人。当且仅当P与B重合时，0P最大，此时M点为A]B]的中点，BM丄AB。Vm-A]Cb=Vc_A[Mb=T*Saa^ib•°0=了解后反思：本题是一道探索性题，确定动点M使所求二面角最小的位置是关键。在求体积的过程中运用了等积变形。一.利用均值定理求最值例2・在棱长为a的正方体OABC—OABC中，E、F分别是棱AB、BC±的动点，且AE=BFo

7、(1)求证:A'F丄CE；(2)当三棱锥B，—BEF的体积取得最大值时，求二面角B-EF-B的大小(结果用反三角函数表示)。(1)证明：连结OF、CE、A，0,如图所示。•・•AE=BF・・・EB=CF又OC=CB,ZOCF=ZCBE因此，AOCF二ACBE,ZECB=ZFOC,OF丄CE又VCC'丄平面AC,CE±OF•••C'E丄OF乂VEB丄平而BC',C'B丄B'C・・・C'E丄B'C乂因为A'O//B'C,所以C'E丄A'OXVA,OnOF=O,CE丄AQ,CE丄OFACE丄平面ATO而ATu平面A'FO所以A'F丄C'

8、EA(2)解：设EB=y,BF=x,边长为a,则x+y=a三棱锥B-BEF的体积V」xya<-f^^l=丄卫6612丿24当且仅当x=y=-时等号成立2因此，三棱锥B-BEF的体积取得最大值时BE=BF=-2过点B作BD1EF交EF于D,连结B，D,可得BD丄EF・・・ZB'DB是二面角B-EF-B的平面角在RtABEF小，直角边BE=BF=-,BD是斜边上的高，贝'JBD=—a,24RtanZB,DB=——=2^2。BD・・・二面角B'-EF-B的大小为arctan2^2。解后反思、：如果函数解析式符合基本不等式条件（或口J以转

9、化为基木不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的条件是"一正，二定，三相等”）一.利用二次函数求最值例3・如图所示，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂宜。点M在AC±移动，点N在BF±移动，^CM=BN=a（0

10、=1贝ijAC=BF=V2,—=-^,匹二莘1V21V2即CP=BQ=:.MN=PQ=J(1_CP)2+BQ2