无理函数最值问题求解举例

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无理函数最值问题求解举例武延霞摘要：无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法，如换元法，微分法，几何法，复数法，向量法等等。关键词：无理函数最值复数法向量法数学屮的函数最值问题求解是常见的，在日常生产生活、科研小都会遇到。解决方法也是很多，如图象法，均值不等式法，换元法，向量法等等，到大学的课程中我们常用的是求导法，这些方法在实际运用中灵活多变。而无理函数的最值问题在中学数学中求解比较休I难,本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法。1换元法：根据函数表达式的特点，将某一部分看作一个整体用一个新的变元来代替，以达到简化表达式、变为熟悉且易于求解的形式。例1：求y=2x+1-4a/2x-1的最小值。解：函数的定义域为（丄,+8），令72%-1=u（u>0）,则x=222y=2F1—4w——4w+2=（%—2）“—2,••・当况=2即兀=#时，歹取最小值一2。2微分法：若/（兀）在区间/上可导，％。是/（X）的唯一稳定点，并且儿是/（兀）的极值点，则当兀0是极大（小）值点时,/（勺）就是于（兀）在/上的最大（小）值。1h例2：求y=--x+—4l+4x2C的最小值（%>0）o'24解：•・•y在［0,+g）上可导，所以,1V32x1V3x24271+4?2J1+4*令才=0得稳定点x0=±2V2（舍负）。又05兀Y—f=时,2V2Y0,XA时,2V2y>o. y的最小值为y=一*3务+V243几何法：运用数形结合的思想将最值问题转化成几何图形的性质问题，通过几何的有关知识求解。例3：A、B两地合用一个变压器，若两地用同型号线架设输电线，问变压器设在输电干线上何处吋，所需输电线最短。解：设CE长为x,[0,3]，由题意可知求出y=Vx2+1.52+7(3-x)2+12的最小值即可。又y=4+1.52+J(3_x)2+]2二J(x—0)2+(0—1.5)2+J(x—3)2+(0—1)建立直角处标系，如图所示：则P(x,0),©(0,1.5),2(3,1),原问题就转化为求兀轴上一点P到两点距离和的最小值问题。由几何知识，点P在线段上时y取最小值(Q；为Q?关于x轴的对称点)。此时1.5-0_1.5+10-x-0-3'・••兀=1・8，y丽=|Q01=J(0_3)2+(1.5+1)2二¥・・•・将变压器建在C,D之问离Cl.SKm处所需输电线最短。4复数法：求形如y=J/(兀)+Jg(x)的最小值，令复数可,$2满足P1『=/(X)，|%『=g(X)且刃+刃或刃-刃为常数,利用不等式|引+|%|>|j|±刃|来求解。例4：求惭数y=J兀$+9+7x2-8x+17的最小值。解：令+y2=x-4+z则y=低『+血『=|引+|%|‘由不等式pi|+|%|^y{-y2可得 yn卜+3i—兀+4—彳=|4+2i=2V5.2厉在这里能否取到呢?我们来验证一下：若卩i|+|对=|刃则刃与％在同一条直线上且方向相反，・・.兀+3,=-£(x—4+i)伙aO).而由上式可推得k=—3,矛盾。・・・2循不是y的最小值。由此我们知道刃，刃不能任意取，究竟怎么样取值才能使不等式区|+|%|、区土刘中等号成立?若想利用不等式中号，即区一勻引+|%|，取耳=兀+引，由刃一％为一常数，刃的实部需取%-4,设％的虚部为方，刃，％反向，则兀+引=—k(x—4+2)(RA0).:bY0,j?2=4—x—i.此时y>y}+y2>y{-y2=x+3i-x4+i=|4+4z|=4^2,英屮不等号可以取到，.・・y聞=4^2.同理,若想利用不等式中”+”号，即|刃+刃|勻引+|刘，取％二兀+3i,y2=4-x+ify>+y2>y{4-y2=x+3i+4—兀+彳=|4+4/[=4^2,同样解出ymi„=4>/2.总结上述过程，我们可以用“用加取等号取反，用减取等号相同”来概括刃和％的取法,即如果利用区+刃|勻引+|刃|,我们取习与％中兀的符号相反;如果利用久-％|sI引+1%I，我们取刃与％中X的符号相同。5向量法：构造函数F(x)=aj/(兀)+b』g(x)使(77w)+(Jg(x)『为常数。令Q=(Q,b),0=(J/(X),Jg(Q)，则F(x)-a(3-|6z||^|cos^(&为a,0的夹角).根据&的取值范围可以求得函数的最值。 例6：求函数y=5vx-l+V10-X的值域。解：兀的定义域为[1,10],令q=(5,1),0=(V7H,J1O_Q,则阀=V26,|0|=3,・•・y-a[5-c^Pcos0-3^26cos0(0为a,0的夹角).•・•XG［1,10］吋0