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1、第8期高中数学教与学o学习指导o二元函数最值问题求解方法浅析杨建萍(陕西省户县第一中学,710300)形如z=f(x,y)的函数称为二元函数,其最值问题是高中数学的一大难点,近年来高考试题中屡有考察.求解二元函数的最值,涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等高中数学重点知识,更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用.所以二元函数问题最值的求解,是函数部分的重点.下面通过几个具体例子来分析二元最值评注求解二元函数最值问题时,遇到问题求解的基本方法.有关二元一次不等式组
2、或类似于圆、椭圆、抛一、数形结合法物线方程的不等式时,可运用数形结合的方数形结合法是解决二元函数最值的一个法,结合目标函数所对应的几何意义(截距、重要方法,其基本思想是将/数0的问题化归斜率、距离等)利用数形结合的思想,使问题为/形0的特征,利用几何意义来解决问题.常得到解决.见的模式有构造截距、斜率、两点间距离公二、直接消元法式、点到直线的距离等.消元法是求解二元函数最值问题的最基例1(2011年安徽高考题)设变量x,y本方法.设法消元是此法的核心,但要注意所满足
3、x
4、+
5、y
6、[1,则z=x+2y的最大值和留元的
7、取值范围.最小值分别为()例2(2010年福建高考题)若原点O和(A)1,-1(B)2,-22x2(C)1,-2(D)2,-1点F(-2,0)分别为双曲线2-y=1(a>0)a分析利用线性规划知识,将z=x+2y的中心和左焦点,点P为双曲线右支上任意一1z看作目标函数,转化为直线y=-x+,通点,则OP#FP的最小值为()22(A)3-23(B)3+23过直线平移求截距的方法得到最值.77解如图1,先画出不等式
8、x
9、+
10、y
11、[(C)-(D)4411表示的平面区域.平移目标函数线y=-x分析因为满足条件的点均在双曲线
12、2上,故其坐标关系可以利用直接消元法将二z+2,易知当直线经过点D、B时,分别对应z元问题转化为一元问题,进而将OP#FP的最的最大值和最小值.值问题转化为二次函数的最值问题.22所以zmax=2,zmin=-2.故选B.解^a+1=4,_a=3,_双曲线方#7#高中数学教与学2012年2x2元变量问题化归为一元问题,从而使问题得程为-y=1.3以简化;2x02(2)此题也可用消元法求解.设P(x0,y0)(x03),则-y0=1,即3四、均值不等式法22x0题目所给条件是变量x与y的积或和时,y0=-1,3若函
13、数可看作这两个变量的和或积,当满足2所以OP#FP=x0(x0+2)+y0条件时,可利用均值不等式求解.42=x0+2x0-1例4(2011年浙江高考题)设x,y为实3222数,若4x+y+xy=1,则2x+y的最大值是437=x+-.3044.分析对已知条件进行变形,/凑0出目又x03,所以当x0=3时,(OP#标2x+y.2FP)min=x0(x0+2)+y0=3+23.故选B.22解由4x+y+xy=1,得评注利用已知关系,将未知的二元问23题化归为已知的一元模型)))由未知到已知(2x+y)=1+3xy=
14、1+#2x#y2的转化模式是学习数学的一个重要思想.232x+y[1+,三、三角换元法22通过换元,将一个二元问题简化为一元2232x+y即(2x+y)[1+,函数问题,依托于熟识的一元函数达到求解22二元函数最值的目的.28210(2x+y)[,2x+y[.例3(2010年福建高考题)若原点O和5522当且仅当2x=y且4x2+y2+xy=1,即x=xy点F分别为+=1的中心和左焦点,点P431010,y=时取等号.为椭圆上任意一点,则OP#FP的最大值为105()评注利用不等式解决二元函数的最值(A)2(B)3
15、(C)6(D)8问题时,一定要注意/一正二定三相等0,尤其22xy是等号成立的条件要存在.分析因为满足+=1的点均在椭43五、恒等变形法圆上,故其坐标关系可以利用三角代换,进而例5(2011年重庆高考题)已知a>0,将OP#FP的最值问题转化为三角函数的值域14b>0,a+b=2,则y=+的最小值是问题.ab解设x=2cosH,y=3sinH(HIR),()依题意,得F(-1,0),故79(A)(B)4(C)(D)522OP#FP=(x,y)#(x+1,y)22141=x+x+y分析将y=+变形为y=#ab222=
16、4cosH+2cosH+3sinH14=cos2H+2cosH+3.+#2,再结合条件利用均值不等式即ab令t=cosHI[-1,1],则可.22OP#FP=t+2t+3=(t+1)+2,14114解y=+=#+#2易知当t=1时,(OP#FP)max=6.ab2ab评注(1)三角换元法的本质仍是将二#8#第8期高中数学教与学简化分类讨论的九种策略李红春(湖
