多元函数最值问题(1).doc

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1、多元函数最值问题一．方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等.二．解题策略类型一导数法例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】14【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数的定义域是，（为小于的常数）设且，若

2、的最小值大于，则的范围是__________．【答案】14类型二消元法例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数，都存在实数与之对应，则当时，实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题设有，令，则，所以，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，所以，注意到当时，，故选D.【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论.类型三.基本不等式法例3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数（为常数）的导函数为14，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．

3、【答案】【举一反三】【2018四川省成都市第七中学一诊】设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为14.类型四换元法例4.若a1x≤sinx＜a2x对任意的x∈都成立，则a2－a1的最小值是________．【答案】【举一反三】【2018四川省广元市统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为（）A.B

4、.C.D.【答案】C【解析】设数列的公比为，由题意知．∵，∴．∴，设，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．∴当，即时，有最小值，且．∴的最小值为．故选C．三．强化训练141．【2018四川省绵阳市南山二诊】在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（）A.0B.C.D.-1【答案】D2．【2018河北省涞水波峰中学联考】已知函数，若成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，则，所以，令，则，又是增函数，且，所以在单调递减，单调递增，14所以，故选D。3．【2018四川省绵阳市一诊】已知x1是函数f（x）=x+1﹣l

5、n（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足

6、x1﹣x2

7、≤1，则实数a的最小值是（　　）A.2﹣2B.1﹣2C.﹣2D.﹣1【答案】D4.若曲线与曲线存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D5.设函数f(x)＝若对任意给定的y∈(2，＋∞)，都存在唯一的x0∈R，满足f(f(x0))＝2a2y2＋ay14，则正实数a的最小值是(　　)A.B.C．2D．4【答案】A【解析】当x≤0时，f(x)＝2x，值域为(0,1]，所以f(f(x))＝log22x＝x；当0＜x≤1时，f(x)＝log2x

8、，值域为(－∞，0]，所以f(f(x))＝2log2x＝x；当x＞1时，f(x)＝log2x，值域为(0，＋∞)，所以f(f(x))＝log2(log2x)，故f(f(x))＝当x≤1时，f(f(x))的值域为(－∞，1]；当x＞1时，f(f(x))的值域为R，因为a＞0，令g(y)＝2a2y2＋ay＝2a22－，对称轴y＝－＜0＜2，所以g(y)在(2，＋∞)上是增函数，则g(y)在(2，＋∞)上的值域为(g(2)，＋∞)，即(8a2＋2a，＋∞)，则8a2＋2a≥1，解得a≥，所以正实数a的最小值是.故选A.6．【2018四川省广元市统考

9、】已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令则，令，可得，则显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为故选D．7．【2018河南省郑州市检测】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.【答案】14①当时不成立；②当时成立；③当时，需满足当时，，解得．综上可得．∴实数的取值范围是．8.已知函数对任意的，恒有.若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，则M的最小值为．【答案】.149．【2018江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校监测】已知函数，其中为自

10、然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】由函数的解析式可得：，当时，，不合题意，舍去，当时，由可得：，14令，则，令可得：，