多元函数求最值

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1、鲁迅中学2017届高三数学第二轮复习多元函数求最值（范围）问题主备人:刘美良知识要点：1.2.3.。推广：4.若是实数，则，当且仅当时，等号成立。一般形式：设，是实数，则，当且仅当[来]或存在一个数，使得时，等号成立。推论：（1）当时，柯西不等式即为，若（），则，此即上面提到的平方平均算术平均。（2）当（）时，有。当（），则(3)权方和不等式：；6一、基本不等式法（1）若正实数满足，则的最大值为____4_______.（2）已知为正实数，且，则的最小值为_____________，的最大值为_____________.（3）已知为正实数，且，则的最小值为_____4________.（4）

2、.若则的最大值是.处理双变元问题的两种常见思路:一是减元;一是换元;另处,基本不等式,”1”的代换.解:换元-----=.设则减元:,取得最大值时恰好取得最小值.所以当.1的代换:（5）已知为正实数，且，则的最大值为____________.变式：若，则的最小值_________（6）.实数满足，则的最小值。（7）已知三角形三边长成等差数列，且，则实数的取值范围为二、消元法（1）若实数满足，则的取值范围为_________.（2）设实数满足，则的取值范围为___[1,9]__.（3）已知实数满足.①若，则的取值范围是6__②若为正实数，则的取值范围是_____________.三、判别式法（

3、1）设实数满足，则的取值范围是，的取值范围是，的取值范围是..[-1,1],[-2,2],（2）若实数满足，，则的最大值为.（3）设实数满足，则的取值范围是．五、配方法（1）已知为实数，则的最小值为.2（2）若,设，则M的最小值是.六、数形结合法（1）设实数满足，则的最大值是.（2）已知，则的最小值是.改为：已知是抛物线上的点，则的最大值是解：转化为到焦点的距离即可求解。（3）已知实数满足条件，则的最小值是课后作业：多变元的最值问题1.已知，则的最小值是（）6A．2B．C．4D．5分析：因为当且仅当，且，即时，取“=”号，故选c。w.w.w2.（2008江苏卷11）已知，，则的最小值．分析：

4、直接消元可得，当时取等，所以的最小值为3。3.对一切正实数x，y恒成立，实数a的取值范围为。提示：同问题二，答案：4.已知则的最小值是（）A.3B.4C.D.提示：由解出代入消元变成二次分式型函数求解答案：5.设二次函数的值域为，并且恒成立，则的最小值为。提示：由已知条件得，将代入变成二次分式型函数求解答案：。6，则的最小值为。分析：为的轮换对称式，猜想时的最小值为，另具有齐一次分式的结构，尝试是否可以将转换成一次分式函数的最值6法一：，可得，在上单调递增，当时，函数有最小值；法二：由于具有齐一次分式的结构，尝试将进行变形，以期出现倒数结构，再利用均值不等式求解最值，考虑在分子上配凑分母可得

5、，所以有最小值，当即时取得。7.不等式对任意恒成立,则实数的最大值为。法一：先分离参数，恒有，可见为齐二次分式型，所以，易知时取等。法二：同法一恒有，注意观察分母中的和分子中的“3”，将“3”进行拆分，，易知时取等。8.，则的最大值为。提示：待定系数：在上乘以，以期出现，而，令=1，解得66