多元函数极值与最值

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1、§7—5多元函数的极值与最值本节学习偏导数的应用之极值和最值的求法一．多元函数的极值与最大(小)值1.定义：设函数z=f(x,y)在∪[(x0，y0)]有定义，若(x,y)∈∪[(x0，y0)];(x,y)≠(x0，y0)都有f(x,y)f(x0，y0)]则称函数在(x0，y0)有极大(小)值f(x0，y0)(x0，y0)——极值点极大和极小值统称为极值。例如⑴z=3x2+4y2在(0，0)有极小值⑵在(0,0)有极大值⑶在(0，0)既不取得极大值也不取得极小值oxyzoxyz[注记]：二元函数极值的定义可以推广到元函数的情形。2．极值的必要条件定理1：对于

2、函数z=f(x,y)，若①在点(x0,y0),fx,fy存在;②(x0,y0)是极值点则Fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0证明：不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)有极大值则当点(x,y)∈∪[(x0,y0)],(x,y)≠(x0,y0)时有f(x,y)

3、件，但并非充分条件。换言之，z=f(x,y)在极值点处不一定存在偏导数②驻点（稳定点）：若fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，则(x0,y0)点称为驻点（稳定点）。[注记]：③函数的驻点不一定是极值点，但具有偏导数的函数的极值点（偏导数存在）一定是驻点。即：使偏导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定使偏导数为零。④定理说明(几何意义)曲面z=f(x,y)在极值点处的切平面∥xoy面，切平面z=z0。⑤定理可以推广到三元函数等情形。3.极值的充分条件定理2设函数z=f(x,y)①②③则●●●●注意4．极值的求法具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法：①求的一切实数解，

4、即所有驻点；②对于一切驻点，求出各二阶偏导数的值③按定理2的结论，即P292表判定各驻点是否极值点。[一般地，还应考虑偏导数不存在的点！]例1设是常数，求z的极值。解：①解方程组得实数解为②对驻点(a,b)有所以点(a,b)是极大值点，极值为对驻点(0,0)有所以点(0,0)不是极值点。对驻点(0,2b)5.二元函数的最大（小）值（1）求最大（小）值的一般方法：设z=f(x,y)∈C(0)(D)，且在域D内可微，有有限个驻点。（D为有界闭区域）①求所有驻点:②求在D的边界上的最大值点(xM,yM)和最小值点(xm,ym)；③求最大值最小值（2）对于实际问题求最大（小）值的方法①根据实际问题建

5、立函数关系z=f(x,y)，并确定定义域D；②解得在D内的一个驻点；③得出问题的解答。例2某企业生产两种商品的产量分别为x单位和y单位，利润函数为L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。解：(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就是最大值点。二.条件极值——Lagrange乘数法1.无条件极值和条件极值无条件极值：无附加条件的函数在定义域内的极值问题。条件极值：对函数的自变量除要求在定义域内之外，还有附加条件的极值问题。如：求表面积为a2而体积最大的长方体的体积及长宽高的问题;又如：求函数的满足条件y=b的极大值问题。2．求条件极值的方法（1）代入法：将条件代入函数

6、，化为无条件极值问题来解。（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）（2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无条件极值问题。Lagrange乘数法求z=f(x,y)在满足条件(x,y)=0时的极值，方法为：步骤Ⅰ构造函数（为待定常数）步骤Ⅱ解方程组求出实数解(x0,y0)和;步骤Ⅲ判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问题的实际意义判定)，并求出极值z0=f(x0,y0)[注记]：以上方法步骤，也适用于三元以上的多元函数，以及多个条件的情形。例4求定点（x0,y0)到直ax+by+c=0的最短距离，其中a、b是不同时为零的常数。解：直线上到定点(x0,y0)

7、的距离d最短的点(x，y)，也就是使该距离的平方d2最小的点。而d2=(x-x0)2+(y-y0)2(d>0)且点(x,y)满足ax+by+c=0，因此，问题转化求函数d2在条件ax+by+c=0下的最小值点对应于的函数值。作Lagrange函数:对x、y、求偏导数，可得最小值点满足的方程：续解（例4）由式（1）由式（2）由式（3）将分别代入得（4）续解（例4）定点(x0,y0)到直线必有