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《多元函数的极值与最值(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章高等数学教研室第五节二元函数的极值一、二元函数的极值定义三、条件极值二、最值应用问题回忆一元函数的极值设在内有定义，如果有或则称是的一个极大值或极小值必要条件：定义：在处可导，且在处取得极值，那么最值一、二元函数的极值定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某去心邻域内有(极小值).说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极
2、值取得极值函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有具有故具有偏导数的时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且例1求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例7.30二、
3、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点极值点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据（1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.【二元函数的最值】分为(1)有界闭区域上的连续函数求最值(2)实际问题求最值解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2
4、根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例2三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.例如,引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的
5、情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例3要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.最省,例7.34内容小结1.函数的极值问题第一
6、步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题
