多元函数的极值与最值

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1、第六节多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1(1)(2)(3)例1例２例３2播放34567891011极值的求法（称驻点）驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？12定理2（充分条件）负定正定13例4解无极值极小值-5极大值31无极值驻点14二元函数的最值若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.设生产某种商品需原料A和B，设

2、A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为例5解且商品售价为5,求最大利润.利润函数为15令解得唯一驻点唯一驻点为极大值点，即为最大值点，最大利润为16例6解17令18解例7总利润为19令解得20用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例8解即表面积最小.代入目标函数,化为无条件极值问题：xyz21内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值

3、,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时隐函数显化困难甚至不可能.22拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数令若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点.23则构造拉格朗日函数为令24用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？例8解由实际问题,即为最小值点.xyz25在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是

4、最大值点或最小值点.26例9解解得唯一驻点即做成正三角形时面积最大.27三角形中,以正三角形面积为最大:四边形中,以正方形面积为最大：28解例10先求函数在D内的驻点，解方程组29为最小值.30例11解31由由实际问题，此即最佳分配方案.32解法1例12因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，33因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法2例1234练习：P317习题八35附录、最小二乘法36例价格与供给量的观察数据见下表：x(元)23456810121416y(吨)15202530354

5、5608080110散点图由图可以看出，x与y之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系.37达到最小.上述估计a,b的方法称为最小二乘法.LSE(LeastSquareEstimation)求线性经验公式(回归直线方程)使38——称为正规方程组其中39系数行列式所以方程组有唯一解40记则显然回归直线经过散点图的几何中心41例价格与供给量的观察数据见下表：x(元)23456810121416y(吨)152025303545608080110求y对x的回归方程.解42所以所求回归方程为43