多元函数的极值与最值

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1、考研高等数学基础班讲义§5.4　多元函数的极值与最值一、求的极值第一步　　求出驻点第二步　令若　　则　　不是极值若　　则　　不能确定（有时需从极值定义出发讨论）若　　则　　是极值进一步　　若　　　则　　为极小值　　　　　若　　　则　　为极大值【例】　求函数的极值解　　　　，　要求　　，得　　故知，由此解得三个驻点　　　　　　　　　　又，，5.4.5考研高等数学基础班讲义在点处，，，　　　　　　　　　　又，是极小值点，极小值在点处，，，，，，也是极小值点，极小值在点处，，，，不能判定。这时取（其中为充分小的正数）则而取时，　　由此可见不是极值点【03

2、】已知函数在点某邻域内连续，且，则（）（A）点不是的极值点；（B）点是的极大值点；（C）点是的极小值点；（D）无法判断解：由条件。由极限与无穷小的关系当时，，5.4.5考研高等数学基础班讲义当时，，其中是充分小的正数，因此不是极值点，选（A）。【04】设是由确定的函数，求的极值点和极值。答案：点是极小值点，极小值，点是极小值点，极小值。二、求多元函数条件极值的拉格朗日乘子法求的极值约束条件　　　　作求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方程的关键是解方程组的有关技巧。【例1】　在椭球面第一卦限上5.4.5考研高等数学基础

3、班讲义点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求点坐标。解　设点坐标，则椭球面在点的切平面的法向量为切平面：　　　即轴截距轴截距轴截距，所以四面体的体积约束条件用拉格朗日乘子法，令5.4.5考研高等数学基础班讲义用乘乘乘得则将分别代入得所以点坐标为而最小体积.三、多元函数的最值问题【07】求函数在区域上的最大值和最小值。【08】已知曲线，求上距离面最远的点和最近的点。5.4.5