多元函数极值和最值

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1、8.8多元函数的极值与最值8.8.1多元函数的极值8.8.2多元函数的条件极值8.8.3Lagrange(拉格朗日)乘数法8.8.4多元函数的最值及其应用极大值和极小值的定义和一元函数一样，极值是局部概念定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值(relativeminimum).设在点P0的某个邻域,为极大值(relativemaximum).则称8.8.1多元函数的极值(extremum)函数的极大值与极小值统称为函数的极大值点与极小值点统称为极值.极值点.例例例在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在

2、(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半圆锥面马鞍面函数函数(也是最小值).函数一元函数极值的必要条件如果函数可导,处取得极值,那么一元函数极值(第二)充分条件极大值(极小值).回忆二元函数极值的必要条件证定理则有极大值,不妨设都有的极大值点,同理可证也有是一元函数推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件:称为函数的驻点具有偏导的极值点类似一元函数,使一阶偏导数同时为零的点,驻点(criticalpoints).如,驻点,但不是极值点.说明二元函数极值的充分条件定理有二阶连续偏导数,(1)是极值,为极大值,为极小值;(2)不是极值;(3)可

3、能是极值,也可能不是极值.则证明：设ƒ(x,y)在包含P(a,b)点的开区域R上有连续偏导，且ƒx(a,b)=ƒy(a,b)=0(如图).令h和k是微小的增量，使得点S(a+h,b+k)与P点的连线位于R内。设F(t)=ƒ(a+th,b+tk)，则由链导法则对F(t)应用Taylor公式即由于f具有二阶连续偏导，所以只要则对充分小的h和k，求函数极值的一般步骤:①解方程组求出实数解,得驻点.②对于每一个驻点求出二阶偏导数的值③定出的符号,判定是否是极值.例解在点(0,0)处,在点(a,a)处,的极值.不是极值;是极大值。①解方程组②求的符号③定

4、出解求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件,令得驻点为法1代入原方程,练习f(1,－1)是极值.将上方程组再分别对x,y求偏导数,在驻点代入方程组，得为极小值;为极大值.f(1,－1)是极值.求由方程解法2初等配方法方程可变形为根号中的极大值为4,为极值.为极大值,为极小值.练习例但(0,0)是函数的极大值点.所以，在研究函数的极值时,除讨论偏导数为0的点外,还应研究偏导数不存在的点.也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数不存在,说明偏导数不存在的点，2003年考研数学(一),4分*选择题已知函数f(x,y)在点(0,

5、0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.求一元连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的一般步骤最大者即为最大值,最小者即为最小值.①求函数在(a,b)内的嫌疑点②将嫌疑点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)相互比较,回忆最大者即为最大值,最小者即为最小值.求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤:①求函数在D内的所有嫌疑点②求函数在D的边界上的嫌疑点

6、③将所有嫌疑点的函数值相互比较,解(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点）由于所以函数在D内无极值点.(2)求函数在D边界上的嫌疑点(最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例D①在边界线②在边界线最小,又在端点(1,0)处,最大.有驻点函数值有单调上升.D③在边界线所以,最值在端点处.函数单调下降,(3)比较D为最小值;为最大值.解练习此时的最大值与最小值.驻点得上在求4:94),(2222£+++=yxDyxyxf解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.对自变量有约束条件的极值.条件极值8.8.2多元函数的条件极

7、值求条件极值的方法①代入法②拉格朗日乘数法解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为(1)代入(1)式(目标函数)(约束条件)已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？且长方体体积一定有最大值,长方体体积最大.故当的长、宽、高都为6时,由于V在D内只有一个驻点,上例的条件极值问题,但并不是所有情况下都能这样做，更多时候拉格朗日乘数法说明是通过将约束条件代入目标函数中求解;一般方法——用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的目标函数约束条件设

8、函数(1)在由条件(1)(2)取得极值,则首先有(3)确定y是x的隐函数则一元函数也取得极值.8.8.3Lagrange(拉格朗日)乘数法在(4)代入