多元函数最值问题的处理策略-论文.pdf

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1、中学数学杂志2014年第3期霓6璐6冤9多元函数最值问题的处理策略江苏省常州奔牛高级中学213131狄闻于最值问题是高中数学的重点内容，也是高考考查的重点内容．近年来江苏高考试题中多次出现多元函+2眦志数最值问题，这些问题字母多、式子繁、难度大、综合性强，很多学生感到无从下手．其实只要把握整体思维思——～≤—(当且仅当：时取等号)，所以想，利用消元降次，数形结合等解题方法，许多问题往+二一2往迎刃而解．1多元函数的定义及有关概念。≥掣所以：掣．定义1平面点集：建立了坐标系的平面称为坐策略2确定主元，构造函数标面．二元有序实数组(

2、，Y)的全体，即R=RXR={(，y)f，Y∈R}——坐标面．坐标平面上具有性质P侈02记F(，)=(—y)+(÷+)()，≠0)，的点的集合称为平面点集，记作E=则V(x，Y)的最小值为．{(，Y)l(，Y)具有性质P}．——分析首先可以把V(x，y)中的看成变量，Y看定义2设D是xOy平面上的点集，若变量z与D作常量：中的变量，Y之间有一个依赖关系，使得在D内每取一知F(=+(一y)x+y2+是关于的个点P(，Y)时按照这个关系有唯一确定的值与之Y对应，则称z是，Y的二元函数，记为z=，，，)，称，Y为自变量，称Z为应变量，

3、点集D称为该函数的定义二次函数，最／J、／1~f(++詈≥2域，数集{lz=，(，Y)，，Y∈D}称为该函数的值域．定义3类似的，可定义“n维空间”，“／,元函数”，√·+詈=了18．(当且仅当y=9时取等号)二元及二元以上的函数统称为多元函数．点评如果一个表达式中有多个变量无法消2多元函数求解策略元时，可以将其中一个变量看成主元，其余变量看成常策略1通过“整体换元”将二元函数转化为一元量逐步处理．函数策略3数形结合，理解代数式的几何意义上述例2：从形式上讲F(x，y)的几何意义表示两例1若不等式+2√y≤Ⅱ(+Y)，对任意的实

4、数>0，Y>0恒成立，则实数a的最小值为点(，)和(，一)之间距离的平方．分析因为>0，>．0，所以。>x—+_2v／~恒而点A(，詈)是直线y=÷上的动点，点B(y，一_1。Y三)是曲线)，：一一3的动点．由对称性及导数知识数形成立，。>f1．Y＼+Y／结合知F(，)的最小值为．令：x_+_2,／_-~，关键求出二元函数：点评当我们所求的多元函数的结构式与我们十Y十Y的最大值．所学过的一些公式(如两点间的距离公式，斜率公式，r一点到直线的距离公式，圆，椭圆的方程等)结构类似时1+2．

5、y可以考虑用数形结合的数学思想方法，看透代

6、数式的：——(也可以分子，分母同除y)，令=1几何意义，那问题也就迎刃而解了．1+—Y—策略4利用不等式髦诱段翳露舄瑟弼中学数学杂志2014年第3期(1)基本不等式解析条件5c一3口≤b≤4c一0，clnb≥0+clnc椤03已知0，b∈R，0+b+0+b=24，求r上+b3．十一b≥5．的取值范围．CC解析(。+6)+(。+6)一24：2ab≤可化为旦——+≤4：+——≤．CC2()(当且仅当。：6时取等号)．b一≥e．令t=0+b，则原不等式变形为t+2一48≤0，得一8≤t≤6．所以一8≤0+b≤6．设=，y=～b，则题目

7、转化为：另解将原条件配方：(。+÷)+(b+÷)=r3+Y≥5，l+≤4，v49其几何意义是以(一11)为圆心一已知，Y满足{’求的取值范围，，，为半径lYe，I>0．Y>0．的圆，令o+b=t，t的几何意义为直线b=一。+t的纵截距，以下解题省略．作出(，Y)所在平面区f／t(x)=e'x(2)柯西不等式域(如图)．求出Y=e的切例4已知实数t／,，b，c，d满足0+b+c+d=3，0线的斜率e，设过切点+26+3c+6d：5，试求Ⅱ的最值．P(x。，Yo)的切线为y=+g)兰／＼＼)解由柯西不等式得，m(m≥0)，，

8、＼一o

9、：5—3．(26+3c2+6d2)(1+了1+1)≥(6+c+d)2，即则：：+26+3c+6d≥(b+c+d)，由条件可得5—0≥m一，要使它最小，须m=0．0(3一n)z，解得1≤。≤2当且仅当：：～

10、

11、

12、所以上的最小值在P(x。，Y。)处，为e．此时，点2～36P(0，Y。)在Y=e上A，B之间．时等号成立·代入得6=，c÷，d言时，。一=2，6=当(，Y)对应点C时，1，c=S。-，d=1时，。=1．。{【yY=45～3=,{54y=20-51x2x=’，=／描=÷——一：／，．’策略5利用条件消元，构造方程或函数或不等

13、所以的最大值在c处，为7．式侈45已知0，b，c满足0+b+c=9，ab+6c+c0~；2-Y-的取值范围为[e，7]，即的取值范围是=24，则b的取值范围是．[e，7]．分析本题中涉及三个字母，两个方程，如果消多元变量最值问题目前高考涉及较多，关键词有去一个字